Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a matriz \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}: o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados.
Informações dadas (retirei diretamente do enunciado): a matriz é
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vamos lembrar e aplicar a definição do polinômio característico. Para uma matriz quadrada A de ordem 2, o polinômio característico é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é a variável (os autovalores serão as raízes desse polinômio). Para 2\times2, a fórmula do determinante é simples: para \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} temos \det=\;ad-bc.
Calculemos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\[4pt]2 & 6-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante:
p(\lambda)=\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\[4pt]2 & 6-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(6-\lambda)-3\cdot 2.
Desenvolvendo:
p(\lambda)=(1-\lambda)(6-\lambda)-6.
Expandindo e simplificando:
p(\lambda)= (6 -\lambda -6\lambda +\lambda^{2})-6 = \lambda^{2}-7\lambda.
Podemos fatorar:
p(\lambda)=\lambda(\lambda-7).]

Passo 3

Os autovalores são as raízes de p(\lambda). Como p(\lambda)=\lambda(\lambda-7), as raízes são
\lambda_{1}=0 \quad\text{e}\quad \lambda_{2}=7.
Expliquei: cada fator igual a zero dá um autovalor.

Passo 4

Agora vou explicar o que é autoespaço e como calcular. Para um autovalor \lambda\), o autoespaço associado é \[E_{\lambda}=\{\,v\in\mathbb{R}^{2}\mid (A-\lambda I)v=0\,\},
ou seja, o espaço nulo da matriz A-\lambda I. Encontramos as soluções não-triviais do sistema linear homogêneo (A-\lambda I)v=0.
Começando por \lambda_{1}=0: temos A-0\cdot I=A. Resolvemos
\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso equivale ao sistema
\begin{cases} x+3y=0,\\[4pt] 2x+6y=0. \end{cases}
Note que as duas equações são proporcionais (a segunda é o dobro da primeira), então há uma equação efetiva: x+3y=0\]. Isolando uma variável: \(x=-3y. Tomando y como parâmetro t\in\mathbb{R}, obtemos vetores da forma
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3t\\[4pt]t\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda_{1}=0 é
E_{0}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Interpretação prática: todos os múltiplos do vetor \begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix} são autovetores com autovalor 0.]

Passo 5

Agora \lambda_{2}=7\). Calculamos \(A-7I\): \[A-7I=\begin{pmatrix}1-7 & 3\\[4pt]2 & 6-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 & 3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
Resolvemos (A-7I)v=0:
\begin{pmatrix}-6 & 3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
que dá o sistema
\begin{cases} -6x+3y=0,\\[4pt] 2x-y=0. \end{cases}
Observando, a segunda equação é equivalente à primeira dividida por -3\]. Tomando a equação simples \(2x-y=0, isolamos y=2x. Tomando x como parâmetro s\in\mathbb{R}, obtemos
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s\\[4pt]2s\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Portanto o autoespaço associado a \lambda_{2}=7 é
E_{7}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 6

Comentário final (útil para prova): o polinômio característico teve raízes distintas \lambda=0 e \lambda=7, cada uma com multiplicidade algébrica 1. Os autoespaços têm dimensão 1 cada (multiplicidade geométrica 1), gerados por \begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}. Como existem dois autovetores linearmente independentes correspondentes a autovalores distintos, a matriz A é diagonalizável (se isso aparecer na prova, é a conclusão direta).]

Resposta

Polinômio característico: \;p(\lambda)=\lambda(\lambda-7).
Autovalores: \;\lambda_{1}=0 e \lambda_{2}=7.
Autoespaço associado a \lambda_{1}=0: \;E_{0}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Autoespaço associado a \lambda_{2}=7: \;E_{7}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.]

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