Seja
o operador linear dado por
e considere as bases ordenadas
e
de
.
(a) Obtenha
e
.
(b) Obtenha a matriz de
em relação à base ordenada
.
(a) Obtenha
(b) Obtenha a matriz de
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
definido por
As bases ordenadas fornecidas são
e
O que o problema pede:
- (a) Determinar as matrizes
e . - (b) Determinar a matriz de
em relação à base ordenada (ou seja, a mesma com ordem trocada).
Informações relevantes que temos:
- A imagem de um vetor
por é . - Para obter a matriz de
relativa a uma base de domínio e outra de contradomínio, cada coluna da matriz é o vetor imagem de um vetor da base do domínio expresso nas coordenadas da base do contradomínio. - As bases e vetores são em
; ao resolver sistemas de coordenadas devemos trabalhar com números complexos.
Passo 2
Método e cálculo de
(base padrão
tanto no domínio quanto no contradomínio).
Lembrete didático: na base padrão
as coordenadas de um vetor
são simplesmente
. A coluna
de
é
, onde
é o
-ésimo vetor da base do domínio.
Calculemos:
-
. Em coordenadas da base isso é . -
. Em coordenadas da base isso é .
Portanto
Passo 3
Cálculo de [[T]_{\alpha}^{\beta}) (domínio na base
, contradomínio na base
).
Lembrete didático: queremos as coordenadas de
(com
vetor da base
) em relação à base
com
e
. Para cada imagem
resolvemos para escalares
tais que
Esses
formam a coluna correspondente.
Primeira coluna:
. Temos
. Procuramos
com
Escrevendo coordenadas:
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Calcule
. Então a equação fica
, ou seja
, daí
. Então
.
Portanto as coordenadas de
em
são
.
Segunda coluna:
. Temos
, cuja representação em qualquer base é
.
Assim
Passo 4
Cálculo de
(domínio na base
, contradomínio na base
).
Lembrete: agora as colunas são os vetores
expressos nas coordenadas da base padrão
. Como
é a base padrão, basta escrever as imagens diretamente.
Calculemos:
- Para
: , em coordenadas de é . - Para
: , em coordenadas de é .
Portanto
Passo 5
Cálculo de [[T]_{\beta}^{\beta}) (domínio e contradomínio ambos na base
).
Lembrete: as colunas são as coordenadas de
em relação à própria base
. Já determinámos algumas dessas representações nos passos anteriores: em Passo 3 achámos as coordenadas de
em
e em Passo 4 vimos que
e
. Usamos então a mesma técnica de Passo 3 para cada imagem.
- Para
(já feito): coordenadas em são . - Para
: procuramos tais que
Escrevendo o sistema:
Da segunda equação
. Logo
, isto é
, então
. Assim
. (ou, de forma direta,
).
Portanto as coordenadas de
em
são
.
Agrupando colunas:
Passo 6
Parte (b): matriz de
na base ordenada
(que é a base
com ordem trocada).
Estratégia didática: trocar a ordem da base corresponde a aplicar uma matriz de permutação. Mas o jeito mais direto é usar os coeficientes já obtidos para representar as imagens de cada vetor da nova base
em relação à própria
.
Temos de calcular as coordenadas em
de:
-
, -
.
Já representámos ambos em relação à base
. Em
-coordenadas obtivemos:
-
tem coordenadas em iguais a (coeficientes na ordem ). -
tem coordenadas em iguais a .
A nova base
tem ordem
primeiro e
segundo; ou seja,
se escrevermos
. Para converter coordenadas de
-ordem
para coordenadas na ordem
simplesmente trocamos as entradas (permuta).
Assim:
- Coordenadas de
em (ordem ) são (troca das entradas de ). - Coordenadas de
em são (troca das entradas de ).
Essas serão as colunas de
na ordem da nova base
.
Portanto
onde a primeira coluna corresponde a
e a segunda coluna a
, ambas expressas nas coordenadas da base
.]