Seja T: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2} o operador linear dado por T(x, y)=(x, 0) e considere as bases ordenadas \alpha=\{(1,0),(0,1)\} e \beta=\{(1, i),(-i, 2)\} de \mathbb{C}^{2}.
(a) Obtenha [T]_{\alpha}^{\alpha},[T]_{\alpha}^{\beta},[T]_{\beta}^{\alpha} e [T]_{\beta}^{\beta}.
(b) Obtenha a matriz de T em relação à base ordenada \{(-i, 2),(1, i)\}.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{C}^{2}\to\mathbb{C}^{2} definido por
T(x,y)=(x,0).
As bases ordenadas fornecidas são
\alpha=\{(1,0),(0,1)\}
e
\beta=\{(1,i),(-i,2)\}.
O que o problema pede:
  • (a) Determinar as matrizes [T]_{\alpha}^{\alpha},\;[T]_{\alpha}^{\beta},\;[T]_{\beta}^{\alpha} e [T]_{\beta}^{\beta}.
  • (b) Determinar a matriz de T em relação à base ordenada \{(-i,2),(1,i)\} (ou seja, a mesma \beta com ordem trocada).
Informações relevantes que temos:
  • A imagem de um vetor (x,y) por T é (x,0).
  • Para obter a matriz de T relativa a uma base de domínio e outra de contradomínio, cada coluna da matriz é o vetor imagem de um vetor da base do domínio expresso nas coordenadas da base do contradomínio.
  • As bases e vetores são em \mathbb{C}^2; ao resolver sistemas de coordenadas devemos trabalhar com números complexos.

Passo 2

Método e cálculo de [T]_{\alpha}^{\alpha} (base padrão \alpha tanto no domínio quanto no contradomínio).
Lembrete didático: na base padrão \alpha=\{(1,0),(0,1)\} as coordenadas de um vetor (x,y) são simplesmente \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. A coluna j de [T]_{\alpha}^{\alpha} é [T(v_j)]_{\alpha}, onde v_j é o j-ésimo vetor da base do domínio.
Calculemos:
  • T(1,0)=(1,0). Em coordenadas da base \alpha isso é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • T(0,1)=(0,0). Em coordenadas da base \alpha isso é \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto
[T]_{\alpha}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Cálculo de [[T]_{\alpha}^{\beta}) (domínio na base \alpha, contradomínio na base \beta).
Lembrete didático: queremos as coordenadas de T(v) (com v vetor da base \alpha) em relação à base \beta=\{b_1,b_2\} com b_1=(1,i) e b_2=(-i,2). Para cada imagem T(v) resolvemos para escalares a,b\in\mathbb{C} tais que
T(v)=a\,b_1+b\,b_2.
Esses a,b formam a coluna correspondente.
Primeira coluna: v=(1,0). Temos T(1,0)=(1,0). Procuramos a,b com
(1,0)=a(1,i)+b(-i,2).
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} a - i b = 1,\\[4pt] i a + 2 b = 0. \end{cases}
Da segunda equação 2b=-i a\], logo \(b=-\dfrac{i a}{2}. Substituindo na primeira:
a - i\left(-\dfrac{i a}{2}\right)=1.
Calcule i\cdot\left(-\dfrac{i a}{2}\right)= -\dfrac{i^2 a}{2}= -\dfrac{-1\cdot a}{2}=\dfrac{a}{2}. Então a equação fica a-\dfrac{a}{2}=1, ou seja \dfrac{a}{2}=1, daí a=2. Então b=-\dfrac{i\cdot 2}{2}=-i.
Portanto as coordenadas de (1,0) em \beta são \begin{pmatrix}2\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
Segunda coluna: v=(0,1). Temos T(0,1)=(0,0), cuja representação em qualquer base é \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Assim
[T]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]-i & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de [T]_{\beta}^{\alpha} (domínio na base \beta, contradomínio na base \alpha).
Lembrete: agora as colunas são os vetores T(b_j) expressos nas coordenadas da base padrão \alpha. Como \alpha é a base padrão, basta escrever as imagens diretamente.
Calculemos:
  • Para b_1=(1,i): T(1,i)=(1,0), em coordenadas de \alpha é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para b_2=(-i,2): T(-i,2)=(-i,0), em coordenadas de \alpha é \begin{pmatrix}-i\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de [[T]_{\beta}^{\beta}) (domínio e contradomínio ambos na base \beta).
Lembrete: as colunas são as coordenadas de T(b_j) em relação à própria base \beta. Já determinámos algumas dessas representações nos passos anteriores: em Passo 3 achámos as coordenadas de (1,0) em \beta e em Passo 4 vimos que T(b_1)=(1,0) e T(b_2)=(-i,0). Usamos então a mesma técnica de Passo 3 para cada imagem.
  • Para T(b_1)= (1,0) (já feito): coordenadas em \beta são \begin{pmatrix}2\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
  • Para T(b_2)=(-i,0): procuramos a,b tais que
(-i,0)=a(1,i)+b(-i,2).
Escrevendo o sistema:
\begin{cases} a - i b = -i,\\[4pt] i a + 2 b = 0. \end{cases}
Da segunda equação b=-\dfrac{i a}{2}\]. Substituindo na primeira: \[a - i\left(-\dfrac{i a}{2}\right) = -i.\] Como antes \(i\left(-\dfrac{i a}{2}\right)=\dfrac{a}{2}. Logo a-\dfrac{a}{2}=-i, isto é \dfrac{a}{2}=-i, então a=-2i. Assim b=-\dfrac{i(-2i)}{2}=-\dfrac{-2 i^2}{2}=-\dfrac{-2(-1)}{2}=-1. (ou, de forma direta, b=-1).
Portanto as coordenadas de (-i,0) em \beta são \begin{pmatrix}-2i\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Agrupando colunas:
[T]_{\beta}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & -2i\\[4pt]-i & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Parte (b): matriz de T na base ordenada \gamma=\{(-i,2),(1,i)\} (que é a base \beta com ordem trocada).
Estratégia didática: trocar a ordem da base corresponde a aplicar uma matriz de permutação. Mas o jeito mais direto é usar os coeficientes já obtidos para representar as imagens de cada vetor da nova base \gamma em relação à própria \gamma.
Temos de calcular as coordenadas em \gamma de:
  • T((-i,2)) = (-i,0),
  • T((1,i)) = (1,0).
Já representámos ambos em relação à base \beta=\{(1,i),(-i,2)\}. Em \beta-coordenadas obtivemos:
  • (-i,0) tem coordenadas em \beta iguais a \begin{pmatrix}-2i\\[4pt]-1\end{pmatrix} (coeficientes na ordem (1,i),(-i,2)).
  • (1,0) tem coordenadas em \beta iguais a \begin{pmatrix}2\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
A nova base \gamma tem ordem ( -i,2 ) primeiro e (1,i) segundo; ou seja, \gamma=(b_2,b_1) se escrevermos b_1=(1,i),\,b_2=(-i,2). Para converter coordenadas de \beta-ordem (b_1,b_2) para coordenadas na ordem \gamma simplesmente trocamos as entradas (permuta).
Assim:
  • Coordenadas de (-i,0) em \gamma (ordem b_2,b_1) são \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2i\end{pmatrix} (troca das entradas de \begin{pmatrix}-2i\\[4pt]-1\end{pmatrix}).
  • Coordenadas de (1,0) em \gamma são \begin{pmatrix}-i\\[4pt]2\end{pmatrix} (troca das entradas de \begin{pmatrix}2\\[4pt]-i\end{pmatrix}).
Essas serão as colunas de [T]_{\gamma}^{\gamma} na ordem da nova base \gamma.
Portanto
[T]_{\gamma}^{\gamma}=\begin{pmatrix}-1 & -i\\[4pt]-2i & 2\end{pmatrix},
onde a primeira coluna corresponde a T((-i,2)) e a segunda coluna a T((1,i)), ambas expressas nas coordenadas da base \gamma.]

Resposta

[T]_{\alpha}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
[T]_{\alpha}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]-i & 0\end{pmatrix}
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
[T]_{\beta}^{\beta}=\begin{pmatrix}2 & -2i\\[4pt]-i & -1\end{pmatrix}
[T]_{\{(-i,2),(1,i)\}}=\begin{pmatrix}-1 & -i\\[4pt]-2i & 2\end{pmatrix}]

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