Determine o polinómio p(x)=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (0,-4),(1,1) e (2,12). Assinale o valor de a.
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(D) 3
(F) 4

Passo 1

O enunciado pede um polinómio p(x)=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (0,-4),(1,1) e (2,12).
As informações dadas que vamos usar são:
  • p(0)=-4,
  • p(1)=1,
  • p(2)=12.
A pergunta específica: determinar o valor de a.

Passo 2

Método: avaliar o polinómio em cada um dos x dos pontos dados e obter um sistema de equações lineares nas incógnitas a,b,c.
A ideia é simples: para cada ponto (x_0,y_0) temos a equação
p(x_0)=a x_0^{2}+b x_0+c=y_0.
Isso transforma o problema de encontrar o polinómio em resolver um sistema linear para a,b,c.

Passo 3

Avaliar em x=0 usando o ponto (0,-4):
p(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=c=-4.
Portanto
c=-4.

Passo 4

Avaliar em x=1 usando o ponto (1,1):
p(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=a+b+c=1.
Substituindo c=-4 obtemos
a+b-4=1.
Isolando temos
a+b=5.

Passo 5

Avaliar em x=2 usando o ponto (2,12):
p(2)=a\cdot2^{2}+b\cdot2+c=4a+2b+c=12.
Substituindo c=-4 obtemos
4a+2b-4=12.
Somando 4 aos dois lados e simplificando:
4a+2b=16.
Dividindo ambos os lados por 2 (operações válidas porque 2\neq0):
2a+b=8.

Passo 6

Agora resolvemos o sistema simples nas incógnitas a\) e \(b\): \[\begin{cases} a+b=5,\\[4pt] 2a+b=8. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda (esta técnica elimina b\] porque \(b-b=0):
(2a+b)-(a+b)=8-5 \quad\Rightarrow\quad a=3.
(Se quiser, com a=3 encontra-se b=2 a partir de a+b=5 e já tínhamos c=-4, o que confirma o polinómio p(x)=3x^{2}+2x-4.)]

Resposta

3

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