Determine o polinômio de Taylor de grau
e centro
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau
e centro
para a função
com
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
O que precisamos calcular para montar o polinômio de Taylor de grau
em torno de
:
Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e quais valores precisamos obter.
Passo 2
Fórmula do polinômio de Taylor de grau
centrado em
: é a soma das derivadas de
em
divididas por
multiplicadas por
, isto é,
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
,
é o fatorial de
(por exemplo
), e
é a potênca que centra o polinômio em
. Para
temos explicitamente
Portanto precisamos das duas primeiras derivadas de
e seus valores em
.
Passo 3
Vamos calcular
. Usamos a regra do produto: se
e
são funções,
. Aqui
e
. Então
Aplicando a regra do produto:
Portanto
Passo 4
Agora calculamos
, isto é, a derivada de
. Tomamos
Derivamos termo a termo, aplicando novamente a regra do produto quando necessário.
Para o primeiro termo
: trate
como
e
como
.
Para o segundo termo
: trate
e
.
Somando os dois resultados:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos reescrever de forma compacta:
Passo 5
Agora avaliamos
,
e
em
. Usamos os valores trigonométricos
e
.
Calcule
:
Calcule
usando
:
Calcule
usando
:
Portanto obtivemos os três valores necessários:
Passo 6
Temos agora tudo para aplicar a fórmula de Taylor de grau
centrada em
:
Vou colocar os valores encontrados em
Resposta para a forma final do polinômio.