Determine o polinômio de Taylor de grau n e centro c
f(x)=x^{2} \cos x, n=2, c=\pi

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau n e centro c para a função f(x)=x^{2}\cos x com n=2 e c=\pi.\n
Informações dadas:
f(x)=x^{2}\cos x,\quad n=2,\quad c=\pi.
O que precisamos calcular para montar o polinômio de Taylor de grau 2 em torno de c=\pi:
f(\pi),\quad f'(\pi),\quad f''(\pi).
Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e quais valores precisamos obter.

Passo 2

Fórmula do polinômio de Taylor de grau n centrado em c: é a soma das derivadas de f em c divididas por k! multiplicadas por (x-c)^{k}, isto é,
P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}(x-c)^{k}.
Aqui, f^{(k)}\text{(c)} é a k-ésima derivada de f avaliada em x=c, k! é o fatorial de k (por exemplo 2!=2), e (x-c)^{k} é a potênca que centra o polinômio em c. Para n=2 temos explicitamente
P_{2}(x)=f\text{(c)}+f'\text{(c)}(x-c)+\frac{f''\text{(c)}}{2}(x-c)^{2}.
Portanto precisamos das duas primeiras derivadas de f e seus valores em c=\pi.

Passo 3

Vamos calcular f'(x). Usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=\cos x. Então
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=-\sin x.
Aplicando a regra do produto:
f'(x) = (x^{2})' \cos x + x^{2}(\cos x)' = 2x\cos x + x^{2}(-\sin x).
Portanto
f'(x)=2x\cos x - x^{2}\sin x.

Passo 4

Agora calculamos f''(x), isto é, a derivada de f'(x). Tomamos
f'(x)=2x\cos x - x^{2}\sin x.
Derivamos termo a termo, aplicando novamente a regra do produto quando necessário.
Para o primeiro termo 2x\cos x: trate 2x como u e \cos x como v.
(2x\cos x)' = (2x)'\cos x + 2x(\cos x)' = 2\cos x + 2x(-\sin x) = 2\cos x - 2x\sin x.
Para o segundo termo -x^{2}\sin x: trate u=-x^{2} e v=\sin x.
(-x^{2}\sin x)' = (-x^{2})'\sin x + (-x^{2})(\sin x)' = (-2x)\sin x + (-x^{2})\cos x = -2x\sin x - x^{2}\cos x.
Somando os dois resultados:
f''(x)=\big(2\cos x - 2x\sin x\big) + \big(-2x\sin x - x^{2}\cos x\big).
Agrupando termos semelhantes:
f''(x)=2\cos x -4x\sin x - x^{2}\cos x.
Podemos reescrever de forma compacta:
f''(x)=(2 - x^{2})\cos x - 4x\sin x.

Passo 5

Agora avaliamos f, f' e f'' em c=\pi. Usamos os valores trigonométricos \cos\pi=-1 e \sin\pi=0.
Calcule f(\pi):
f(\pi)=\pi^{2}\cos\pi=\pi^{2}\cdot(-1)=-\pi^{2}.
Calcule f'(\pi) usando f'(x)=2x\cos x - x^{2}\sin x:
f'(\pi)=2\pi\cos\pi - \pi^{2}\sin\pi = 2\pi\cdot(-1) - \pi^{2}\cdot 0 = -2\pi.
Calcule f''(\pi) usando f''(x)=(2 - x^{2})\cos x - 4x\sin x:
f''(\pi)=(2-\pi^{2})\cos\pi - 4\pi\sin\pi = (2-\pi^{2})\cdot(-1) - 4\pi\cdot 0 = \pi^{2}-2.
Portanto obtivemos os três valores necessários:
f(\pi)=-\pi^{2},\qquad f'(\pi)=-2\pi,\qquad f''(\pi)=\pi^{2}-2.

Passo 6

Temos agora tudo para aplicar a fórmula de Taylor de grau 2 centrada em c=\pi:
P_{2}(x)=f(\pi)+f'(\pi)(x-\pi)+\frac{f''(\pi)}{2}(x-\pi)^{2}.
Vou colocar os valores encontrados em \#Resposta para a forma final do polinômio.

Resposta

P_{2}(x)=-\pi^{2}-2\pi(x-\pi)+\frac{\pi^{2}-2}{2}(x-\pi)^{2}.

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