Determine o polinômio de Taylor de grau n e centro c
f(x)=\frac{1}{x^{2}}, n=4, c=2

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau n e centro c para a função dada. Informações fornecidas:
f(x)=\frac{1}{x^{2}},\qquad n=4,\qquad c=2.
Portanto quero o polinômio de Taylor de grau 4 centrado em x=2 para f(x).

Passo 2

Lembrete prático (a “fórmula” que vamos usar): o polinômio de Taylor de grau n de uma função f centrado em c é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}\,(x-c)^{k}.
Explicando a fórmula com calma:
  • k é a ordem da derivada (vai de 0 até n);
  • f^{(k)}\text{(c)} é a k-ésima derivada de f avaliada em x=c;
  • k! (fatorial de k) normaliza o termo;
  • (x-c)^{k} é a potência que centra a expansão em c.
    Logo, precisamos calcular f^{(k)}(2) para k=0,1,2,3,4.

Passo 3

Vamos derivar f(x)=x^{-2} passo a passo usando a regra do poder: se g(x)=x^{m} então g'(x)=m x^{m-1}. Aplicando repetidamente:
\begin{aligned} f(x)&=x^{-2},\\\ f'(x)&=-2x^{-3},\\\ f''(x)&=(-2)(-3)x^{-4}=6x^{-4},\\\ f^{(3)}(x)&=6(-4)x^{-5}=-24x^{-5},\\\ f^{(4)}(x)&=-24(-5)x^{-6}=120x^{-6}. \end{aligned}
Cada derivada segue multiplicando pelo novo expoente, por isso os fatores fatoriais aparecem.

Passo 4

Observando o padrão, podemos escrever em forma fechada (útil para calcular f^{(k)} em geral):
f^{(k)}(x)=(-1)^{k}(k+1)!\;x^{-(k+2)}.
Explicando por que: para k=0 1\cdot 1!\,x^{-2}=x^{-2}. Cada derivação acrescenta um fator -(m) onde m é o expoente atual; isto gera o produto (k+1)! e o sinal alternante (-1)^k. Se quiser, isso pode ser mostrado por indução, mas aqui o padrão já é claro e coincide com as derivadas que calculamos.

Passo 5

Agora avalio em c=2:
f^{(k)}(2)=(-1)^{k}(k+1)!\;2^{-(k+2)}=\frac{(-1)^{k}(k+1)!}{2^{\,k+2}}.
Lembre que 2^{-(k+2)}=1/2^{k+2}.

Passo 6

Os coeficientes do polinômio são a_k=\dfrac{f^{(k)}(2)}{k!}. Simplificando:
\frac{f^{(k)}(2)}{k!}=\frac{(-1)^{k}(k+1)!}{k!\,2^{k+2}} = \frac{(-1)^{k}(k+1)}{2^{k+2}}.
Ou seja, o termo de ordem k será \dfrac{(-1)^{k}(k+1)}{2^{k+2}}(x-2)^{k}.

Passo 7

Calculo explícito para k=0,1,2,3,4:
\begin{aligned} k=0:\;&\frac{(-1)^{0}(0+1)}{2^{0+2}}=\frac{1}{4},\\[4pt] k=1:\;&\frac{(-1)^{1}(1+1)}{2^{1+2}}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4},\\[4pt] k=2:\;&\frac{(-1)^{2}(2+1)}{2^{2+2}}=\frac{3}{16},\\[4pt] k=3:\;&\frac{(-1)^{3}(3+1)}{2^{3+2}}=-\frac{4}{32}=-\frac{1}{8},\\[4pt] k=4:\;&\frac{(-1)^{4}(4+1)}{2^{4+2}}=\frac{5}{64}. \end{aligned}]

Passo 8

Agora monto o polinômio somando os termos de k=0 a 4:
T_{4}(x)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{3}{16}(x-2)^{2}-\frac{1}{8}(x-2)^{3}+\frac{5}{64}(x-2)^{4}.
Esse é o polinômio de Taylor de grau 4 centrado em 2 para f(x)=1/x^{2}. Dá para usar essa forma em (x-2) para aproximar f próximo de x=2 sem recalcular derivadas.

Resposta

\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{3}{16}(x-2)^{2}-\frac{1}{8}(x-2)^{3}+\frac{5}{64}(x-2)^{4}

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