Determine o polinômio de Taylor de grau
e centro
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau
e centro
para a função dada. Informações fornecidas:
Portanto quero o polinômio de Taylor de grau
centrado em
para
.
Passo 2
Lembrete prático (a “fórmula” que vamos usar): o polinômio de Taylor de grau
de uma função
centrado em
é
Explicando a fórmula com calma:
-
é a ordem da derivada (vai de até ); -
é a -ésima derivada de avaliada em ; -
(fatorial de ) normaliza o termo; -
é a potência que centra a expansão em .
Logo, precisamos calcularpara .
Passo 3
Vamos derivar
passo a passo usando a regra do poder: se
então
. Aplicando repetidamente:
Cada derivada segue multiplicando pelo novo expoente, por isso os fatores fatoriais aparecem.
Passo 4
Observando o padrão, podemos escrever em forma fechada (útil para calcular
em geral):
Explicando por que: para
dá
. Cada derivação acrescenta um fator
onde
é o expoente atual; isto gera o produto
e o sinal alternante
. Se quiser, isso pode ser mostrado por indução, mas aqui o padrão já é claro e coincide com as derivadas que calculamos.
Passo 5
Agora avalio em
:
Lembre que
.
Passo 6
Os coeficientes do polinômio são
. Simplificando:
Ou seja, o termo de ordem
será
.
Passo 7
Calculo explícito para
:
Passo 8
Agora monto o polinômio somando os termos de
a
:
Esse é o polinômio de Taylor de grau
centrado em
para
. Dá para usar essa forma em (x-2) para aproximar
próximo de
sem recalcular derivadas.