( 0,1 \mathrm{pt} ) Em relação ao conjunto X=(0, 1) \cup \{2\}, marque a opção verdadeira:
◯ 2 é ponto de acumulação de X.
◯ 1 é ponto de acumulação de X.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \,X=(0,1)\cup\{2\}\, e pede para assinalar qual das afirmações é verdadeira entre:
  • “2 é ponto de acumulação de X.”
  • “1 é ponto de acumulação de X.”
As informações relevantes são:
  • X contém todos os pontos reais estritamente entre \,0 e \,1 (ou seja, o intervalo aberto (0,1)) e além disso contém o ponto isolado \,2.
  • Não há outros pontos em X fora de (0,1) e do ponto 2.

Passo 2

Definição (explicada de forma direta): um ponto a é ponto de acumulação de um conjunto X se, para qualquer \epsilon>0, o intervalo aberto (a-\epsilon,a+\epsilon) contém algum ponto de X diferente de a (ou seja, contém pontos de X\setminus\{a\}). Intuitivamente: por mais pequena que seja a vizinhança ao redor de a, sempre aparece algum ponto de X que não seja exatamente a.
Vou usar essa definição para verificar os dois pontos pedidos.

Passo 3

Analisando o ponto \,2:
Escolho \epsilon=\tfrac{1}{2} (qualquer número em (0,1) serve). Considere a vizinhança (2-\epsilon,2+\epsilon)=(2-\tfrac{1}{2},2+\tfrac{1}{2})=(1,\,2{,}5).
Agora verifico se existe algum ponto de X nessa vizinhança diferente de 2. Os pontos de X são os de (0,1) e o próprio 2. Todo ponto de (0,1) é menor ou igual a 1, portanto é menor do que 1{,}5; em particular nenhum ponto de (0,1) pertence ao intervalo (1,2{,}5). Assim, a interseção (2-\epsilon,2+\epsilon)\cap(X\setminus\{2\}) é vazia.
Pela definição, existe uma vizinhança de 2 que contém nenhum outro ponto de X além de 2, logo \,2 não é ponto de acumulação de X. Em linguagem informal: 2 é um ponto isolado de X.

Passo 4

Analisando o ponto \,1:
Queremos mostrar que para todo \epsilon>0 a vizinhança (1-\epsilon,1+\epsilon) contém algum ponto de X diferente de 1. Note que 1 não pertence a X (pois X tem o intervalo aberto (0,1), que não inclui 1), mas isso não impede que seja ponto de acumulação — o que importa é a existência de pontos de X arbitrariamente próximos a 1.
Faço uma divisão em casos para ficar claro:
Caso A: \epsilon\ge 1.
Então (1-\epsilon,1+\epsilon) contém o intervalo (0,1) inteiro (porque 1-\epsilon\le 0), então certamente existe ponto de X nessa vizinhança (por exemplo 0{,}5). Logo a vizinhança intersecta X.
Caso B: 0<\epsilon<1.
Escolho o ponto x=1-\tfrac{\epsilon}{2}. Então x\in(0,1) (porque 1-\tfrac{\epsilon}{2}>0) e além disso
|x-1|=\left|1-\tfrac{\epsilon}{2}-1\right|=\tfrac{\epsilon}{2}<\epsilon.
Portanto x\in(1-\epsilon,1+\epsilon)\cap X e x\neq 1. Assim a vizinhança contém um ponto de X diferente de 1.
Como esses dois casos cobrem todos os \epsilon>0, concluímos que para qualquer \epsilon>0 a vizinhança (1-\epsilon,1+\epsilon) contém pontos de X distintos de 1. Pela definição, \,1 é ponto de acumulação de X.
(Outra forma rápida de ver isso: a sequência x_n=1-\tfrac{1}{n} pertence a (0,1)\subset X e tende para 1, então 1 é ponto de acumulação.)

Passo 5

Resumo intuitivo: o intervalo (0,1) tem pontos arbitrariamente próximos de 1, então 1 é ponto de acumulação. Já 2 está isolado (há uma lacuna entre 1 e 2), então não é ponto de acumulação.

Resposta

2 não é ponto de acumulação de X.
1 é ponto de acumulação de X.

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