Determine o polinômio de Taylor de grau n e centro c
f(x)=\frac{2}{x}, n=3, c=1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau n=3 e centro c=1 da função f(x)=\dfrac{2}{x}.
Informações dadas:
f(x)=\frac{2}{x},\qquad n=3,\qquad c=1.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor de grau n centrado em c. A fórmula é
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}(x-c)^k.
Explicando a fórmula com calma:
  • f^{(k)}\text{(c)} significa a k-ésima derivada de f avaliada em x=c.
  • k! (fatorial de k) é o produto 1\cdot2\cdot3\cdots k e serve para normalizar cada termo da série.
  • O polinómio T_n(x) aproxima f(x) perto de x=c usando potências de (x-c) até grau n.

Passo 3

Primeiro escrevo f numa forma conveniente para derivar:
f(x)=\frac{2}{x}=2x^{-1}.
Vou derivar termo a termo usando a regra do poder: se g(x)=x^m, então g'(x)=m x^{m-1}. Também uso que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 4

Calculo a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{-1}\big)=2\cdot(-1)x^{-2}=-2x^{-2}.
Explanação: apliquei a regra do poder com m=-1, então multiplico por -1 e reduz o expoente para -2.

Passo 5

Calculo a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(-2x^{-2}\big)=-2\cdot(-2)x^{-3}=4x^{-3}.
Explanação: derivei x^{-2} usando o poder m=-2, o fator -2 sai e multiplica o coeficiente.

Passo 6

Calculo a terceira derivada:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big(4x^{-3}\big)=4\cdot(-3)x^{-4}=-12x^{-4}.

Passo 7

Avalio cada derivada em c=1:
f(1)=2\cdot1^{-1}=2,
f'(1)=-2\cdot1^{-2}=-2,
f''(1)=4\cdot1^{-3}=4,
f^{(3)}(1)=-12\cdot1^{-4}=-12.

Passo 8

Agora calculo os coeficientes \dfrac{f^{(k)}(1)}{k!} para k=0,1,2,3:
\frac{f(1)}{0!}=\frac{2}{1}=2,
\frac{f'(1)}{1!}=\frac{-2}{1}=-2,
\frac{f''(1)}{2!}=\frac{4}{2}=2,
\frac{f^{(3)}(1)}{3!}=\frac{-12}{6}=-2.
Observação: usei 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6.

Passo 9

Agora monto o polinômio de Taylor de grau 3 centrado em 1 somando os termos \dfrac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k para k=0,1,2,3. Assim:
T_3(x)=2-2(x-1)+2(x-1)^2-2(x-1)^3.
Posso também escrever em fator comum:
T_3(x)=2\big[1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3\big].

Resposta

T_3(x)=2-2(x-1)+2(x-1)^2-2(x-1)^3

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