Determine o polinômio de Taylor de grau
e centro
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio de Taylor de grau
e centro
da função
.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor de grau
centrado em
. A fórmula é
Explicando a fórmula com calma:
-
significa a -ésima derivada de avaliada em . -
(fatorial de ) é o produto e serve para normalizar cada termo da série. - O polinómio
aproxima perto de usando potências de até grau .
Passo 3
Primeiro escrevo
numa forma conveniente para derivar:
Vou derivar termo a termo usando a regra do poder: se
, então
. Também uso que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
Passo 4
Calculo a primeira derivada:
Explanação: apliquei a regra do poder com
, então multiplico por
e reduz o expoente para
.
Passo 5
Calculo a segunda derivada:
Explanação: derivei
usando o poder
, o fator
sai e multiplica o coeficiente.
Passo 6
Calculo a terceira derivada:
Passo 7
Avalio cada derivada em
:
Passo 8
Agora calculo os coeficientes
para
:
Observação: usei
,
,
,
.
Passo 9
Agora monto o polinômio de Taylor de grau
centrado em
somando os termos
para
. Assim:
Posso também escrever em fator comum: