Determine o polinômio de Taylor de grau
e centro
Passo 1
O enunciado pede para determinar o polinômio de Taylor de grau
, centrado em
, da função
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é calcular os termos até a ordem
da expansão em torno de
, ou seja, encontrar
Passo 2
Apresento a fórmula de Taylor que iremos usar e explico cada peça dela, sem pular etapas. A fórmula de Taylor de ordem
centrada em
é
Explicando os símbolos:
-
é a -ésima derivada da função avaliada em . Para interpretamos . -
é o fatorial de , ou seja (por convenção ). -
é o monômio que dá a dependência de em cada ordem.
Portanto precisamos calcular
para
e avaliá-las em
. Vou ensinar como calcular cada derivada usando a regra do poder (“power rule”): se
então
. Aplicamos essa regra repetidas vezes.
Passo 3
Calculemos as derivadas da função
passo a passo, explicando as contas de coeficientes e expoentes.
Primeira derivada:
Aqui usei
, então
e o coeficiente ficou
.
Segunda derivada: aplico a regra do poder a
. O coeficiente novo é
e o expoente diminui em 1:
Terceira derivada: aplico novamente a regra do poder a
. Multiplico o coeficiente por
(pois o expoente atual é
):
Note que os sinais se ajustam: negativo vezes negativo dá positivo.
Quarta derivada: repito o processo multiplicando por
:
Recapitulando as derivadas encontradas:
Passo 4
Agora avaliamos cada derivada em
. Vou mostrar a simplificação usando que
, então
e potências com expoentes fracionários ficam fáceis de reduzir para potências de
.
Primeiro,
.
Para as demais:
Agora multiplico pelos coeficientes das derivadas:
Em cada linha fiz a multiplicação dos coeficientes e simplifiquei frações quando possível (por exemplo
e
depois de dividir numerador e denominador por
).]
Passo 5
Agora calculamos os coeficientes da soma de Taylor, que são
para
. Vou dividir cada valor por
e mostrar as contas.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Mostrei cada divisão por
(lembre que
,
,
) e simplifiquei as frações resultantes.
Passo 6
Finalmente montamos o polinômio de Taylor de grau
centrado em
somando os termos
para
a
. Substituindo os coeficientes que calculamos:
Como checagem rápida, note que
, ou seja o polinômio coincide com a função no ponto de expansão, como deve acontecer.