Determine o polinômio de Taylor de grau n e centro c
f(x)=\sqrt[3]{x}, n=4, c=8

Passo 1

O enunciado pede para determinar o polinômio de Taylor de grau n=4, centrado em c=8, da função f(x)=\sqrt[3]{x}.
Informações relevantes fornecidas:
f(x)=x^{1/3},\qquad n=4,\qquad c=8.
A tarefa é calcular os termos até a ordem 4 da expansão em torno de x=8, ou seja, encontrar
T_{4}(x)=\sum_{k=0}^{4}\frac{f^{(k)}(8)}{k!}(x-8)^{k}.

Passo 2

Apresento a fórmula de Taylor que iremos usar e explico cada peça dela, sem pular etapas. A fórmula de Taylor de ordem n centrada em c é
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}\text{(c)}}{k!}(x-c)^{k}.
Explicando os símbolos:
  • f^{(k)}\text{(c)} é a k-ésima derivada da função f avaliada em x=c. Para k=0 interpretamos f^{(0)}\text{(c)}=f\text{(c)}.
  • k! é o fatorial de k, ou seja k!=1\cdot2\cdot3\cdots k (por convenção 0!=1).
  • (x-c)^{k} é o monômio que dá a dependência de x em cada ordem.
Portanto precisamos calcular f^{(k)}(x) para k=0,1,2,3,4 e avaliá-las em x=8. Vou ensinar como calcular cada derivada usando a regra do poder (“power rule”): se g(x)=x^{p} então g'(x)=p\,x^{p-1}. Aplicamos essa regra repetidas vezes.

Passo 3

Calculemos as derivadas da função f(x)=x^{1/3} passo a passo, explicando as contas de coeficientes e expoentes.
Primeira derivada:
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Aqui usei p=\tfrac{1}{3}, então p-1=-\tfrac{2}{3} e o coeficiente ficou \tfrac{1}{3}.
Segunda derivada: aplico a regra do poder a f'(x)=\tfrac{1}{3}x^{-2/3}. O coeficiente novo é \tfrac{1}{3}\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)=-\tfrac{2}{9} e o expoente diminui em 1:
f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}.
Terceira derivada: aplico novamente a regra do poder a f''(x). Multiplico o coeficiente por -\tfrac{5}{3} (pois o expoente atual é -\tfrac{5}{3}):
f^{(3)}(x)=-\frac{2}{9}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)x^{-8/3}=\frac{10}{27}x^{-8/3}.
Note que os sinais se ajustam: negativo vezes negativo dá positivo.
Quarta derivada: repito o processo multiplicando por -\tfrac{8}{3}:
f^{(4)}(x)=\frac{10}{27}\cdot\left(-\frac{8}{3}\right)x^{-11/3}=-\frac{80}{81}x^{-11/3}.
Recapitulando as derivadas encontradas:
\begin{aligned} f(x)&=x^{1/3},\\[4pt] f'(x)&=\frac{1}{3}x^{-2/3},\\[4pt] f''(x)&=-\frac{2}{9}x^{-5/3},\\[4pt] f^{(3)}(x)&=\frac{10}{27}x^{-8/3},\\[4pt] f^{(4)}(x)&=-\frac{80}{81}x^{-11/3}. \end{aligned}]

Passo 4

Agora avaliamos cada derivada em c=8. Vou mostrar a simplificação usando que 8=2^{3}, então 8^{1/3}=2 e potências com expoentes fracionários ficam fáceis de reduzir para potências de 2.
Primeiro, f(8)=8^{1/3}=2.
Para as demais:
8^{-2/3}=(8^{1/3})^{-2}=2^{-2}=\frac{1}{4},
8^{-5/3}=(8^{1/3})^{-5}=2^{-5}=\frac{1}{32},
8^{-8/3}=(8^{1/3})^{-8}=2^{-8}=\frac{1}{256},
8^{-11/3}=(8^{1/3})^{-11}=2^{-11}=\frac{1}{2048}.
Agora multiplico pelos coeficientes das derivadas:
\begin{aligned} f(8)&=2,\\[4pt] f'(8)&=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12},\\[4pt] f''(8)&=-\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{32}=-\frac{2}{288}=-\frac{1}{144},\\[4pt] f^{(3)}(8)&=\frac{10}{27}\cdot\frac{1}{256}=\frac{10}{6912}=\frac{5}{3456},\\[4pt] f^{(4)}(8)&=-\frac{80}{81}\cdot\frac{1}{2048}=-\frac{80}{165888}=-\frac{5}{10368}. \end{aligned}
Em cada linha fiz a multiplicação dos coeficientes e simplifiquei frações quando possível (por exemplo 10/6912=5/3456 e 80/165888=5/10368 depois de dividir numerador e denominador por 16).]

Passo 5

Agora calculamos os coeficientes da soma de Taylor, que são \dfrac{f^{(k)}(8)}{k!} para k=0,\dots,4. Vou dividir cada valor por k! e mostrar as contas.
Para k=0:
\frac{f(8)}{0!}=\frac{2}{1}=2.
Para k=1:
\frac{f'(8)}{1!}=\frac{1}{12}.
Para k=2:
\frac{f''(8)}{2!}=\frac{-1/144}{2}=-\frac{1}{288}.
Para k=3:
\frac{f^{(3)}(8)}{3!}=\frac{5/3456}{6}=\frac{5}{20736}.
Para k=4:
\frac{f^{(4)}(8)}{4!}=\frac{-5/10368}{24}=-\frac{5}{248832}.
Mostrei cada divisão por k! (lembre que 2!=2, 3!=6, 4!=24) e simplifiquei as frações resultantes.

Passo 6

Finalmente montamos o polinômio de Taylor de grau 4 centrado em 8 somando os termos \dfrac{f^{(k)}(8)}{k!}(x-8)^{k} para k=0 a 4. Substituindo os coeficientes que calculamos:
T_{4}(x)=2+\frac{1}{12}(x-8)-\frac{1}{288}(x-8)^{2}+\frac{5}{20736}(x-8)^{3}-\frac{5}{248832}(x-8)^{4}.
Como checagem rápida, note que T_{4}(8)=2=f(8), ou seja o polinômio coincide com a função no ponto de expansão, como deve acontecer.

Resposta

T_{4}(x)=2+\frac{1}{12}(x-8)-\frac{1}{288}(x-8)^{2}+\frac{5}{20736}(x-8)^{3}-\frac{5}{248832}(x-8)^{4}.

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