Verifique que integral-T^T cos (n pi xT) d x=0=integral-T^T sen(n pi xT) d x, para todo n in Z, n neq 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar que as integrais e são iguais a zero para todo número inteiro diferente de zero. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções trigonométricas em intervalos simétricos.

Passo 2

Vamos começar analisando a integral do cosseno:
integral-T^T cos (n pi xT) dx
A função cosseno é uma função par, o que significa que integral-T^T cos (n pi xT) dx = 2 integral0^T cos (n pi xT) dx . Quando integramos uma função par em um intervalo simétrico em torno de zero, podemos simplificar a integral da seguinte forma:
2 integral0^T cos (n pi xT) dx = 2 [ Tn pi sin (n pi xT) ]0^T
Agora, calculamos a integral de 2 ( Tn pi sin(n pi) - Tn pi sin(0) ) :
2 (0 - 0) = 0
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que e , então a expressão fica:
Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral do seno:
integral-T^T sin (n pi xT) dx
A função seno é uma função ímpar, o que significa que integral-T^T sin (n pi xT) dx = 0 . Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado da integral é sempre zero. Portanto:

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero para todo .

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