Determine quais dos polinômios abaixo são irredutíveis em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinômio
é irredutível no anel dos polinômios com coeficientes racionais, isto é, em
.
Informações dadas: o polinômio é , de grau
.
Pergunta explícita: “Esse polinômio é irredutível em ?” (responder sim ou não e justificar).
Informações dadas: o polinômio é
Pergunta explícita: “Esse polinômio é irredutível em
Passo 2
Vamos usar o teorema das raízes racionais (também chamado de teste da raiz racional) — explicando devagar e sem mistério.
O teorema diz: se um polinômio com coeficientes inteiros
O teorema diz: se um polinômio com coeficientes inteiros
tem uma raiz racional
escrita em forma irredutível (ou seja,
e
), então
divide
e
divide
.
No nosso caso tem
e
. Como
, qualquer raiz racional deve ter denominador
que divide
, logo
. Portanto qualquer raiz racional de
tem de ser um divisor inteiro de
. Ou seja, as únicas possibilidades de raiz racional são os inteiros divisores de
:
.
Obs.: além do teorema das raízes racionais, vale lembrar que o polinômio tem coeficientes inteiros e é monico (coeficiente líder 1), então procurar raízes inteiras faz sentido e basta para decidir existência de fator linear em .
No nosso caso
Obs.: além do teorema das raízes racionais, vale lembrar que o polinômio tem coeficientes inteiros e é monico (coeficiente líder 1), então procurar raízes inteiras faz sentido e basta para decidir existência de fator linear em
Passo 3
Agora avaliamos
nesses candidatos. Vou calcular um a um, mostrando as contas para você poder reproduzir na prova sem erro.
Calculemos
:
Logo
.
Calculemos
:
Logo
.
Calculemos
:
Logo
.
Calculemos
:
Logo
.
Calculemos
:
Logo
.
Calculemos
:
Logo
.
Calculemos
:
Logo
.
Calculemos
:
Logo
.
Nenhum desses valores é zero, portanto o polinômio não tem nenhuma raiz racional dentre as possíveis.
Passo 4
Agora é hora de ligar isso com a irredutibilidade. Para um polinômio de grau
(ou, em geral, de grau ímpar pequeno), se ele for redutível em
então deve existir uma fatoração não-trivial. As únicas possibilidades de degradação de grau para um grau
são
(um fator linear e um quadrático) — não há outras divisões inteiras dos graus. Logo, se o polinômio se fatorasse em
ele teria um fator linear, isto é, teria uma raiz racional. Como no passo anterior mostramos que não existe raiz racional, concluímos que não há fator linear em
e, portanto, não há fatoração não-trivial. Assim o polinômio é irredutível sobre
.
(Dica prática para a prova: para cubos e cúbicos monicos, normalmente basta aplicar o teste da raiz racional; se não aparecer raiz racional, o polinômio é irredutível.)
Resposta
O polinômio
é irredutível em
.