Determine quais dos polinômios abaixo são irredutíveis em \mathbb{Q}[x].
x^{3}+2 x+10

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio \,x^{3}+2x+10\, é irredutível no anel dos polinômios com coeficientes racionais, isto é, em \mathbb{Q}[x].
Informações dadas: o polinômio é \,f(x)=x^{3}+2x+10, de grau 3.
Pergunta explícita: “Esse polinômio é irredutível em \mathbb{Q}[x]?” (responder sim ou não e justificar).

Passo 2

Vamos usar o teorema das raízes racionais (também chamado de teste da raiz racional) — explicando devagar e sem mistério.
O teorema diz: se um polinômio com coeficientes inteiros
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0
tem uma raiz racional \frac{p}{q} escrita em forma irredutível (ou seja, \gcd(p,q)=1 e q>0), então p divide a_0 e q divide a_n.
No nosso caso f(x)=x^{3}+2x+10 tem a_n=1 e a_0=10. Como a_n=1, qualquer raiz racional deve ter denominador q que divide 1, logo q=1. Portanto qualquer raiz racional de f tem de ser um divisor inteiro de 10. Ou seja, as únicas possibilidades de raiz racional são os inteiros divisores de 10: \pm1,\pm2,\pm5,\pm10.
Obs.: além do teorema das raízes racionais, vale lembrar que o polinômio tem coeficientes inteiros e é monico (coeficiente líder 1), então procurar raízes inteiras faz sentido e basta para decidir existência de fator linear em \mathbb{Q}[x].

Passo 3

Agora avaliamos f nesses candidatos. Vou calcular um a um, mostrando as contas para você poder reproduzir na prova sem erro.
Calculemos f(1):
f(1)=1^{3}+2\cdot1+10=1+2+10=13.
Logo f(1)=13\neq0.
Calculemos f(-1):
f(-1)=(-1)^{3}+2\cdot(-1)+10=-1-2+10=7.
Logo f(-1)=7\neq0.
Calculemos f(2):
f(2)=2^{3}+2\cdot2+10=8+4+10=22.
Logo f(2)=22\neq0.
Calculemos f(-2):
f(-2)=(-2)^{3}+2\cdot(-2)+10=-8-4+10=-2.
Logo f(-2)=-2\neq0.
Calculemos f(5):
f(5)=5^{3}+2\cdot5+10=125+10+10=145.
Logo f(5)=145\neq0.
Calculemos f(-5):
f(-5)=(-5)^{3}+2\cdot(-5)+10=-125-10+10=-125.
Logo f(-5)=-125\neq0.
Calculemos f(10):
f(10)=10^{3}+2\cdot10+10=1000+20+10=1030.
Logo f(10)=1030\neq0.
Calculemos f(-10):
f(-10)=(-10)^{3}+2\cdot(-10)+10=-1000-20+10=-1010.
Logo f(-10)=-1010\neq0.
Nenhum desses valores é zero, portanto o polinômio não tem nenhuma raiz racional dentre as possíveis.

Passo 4

Agora é hora de ligar isso com a irredutibilidade. Para um polinômio de grau 3 (ou, em geral, de grau ímpar pequeno), se ele for redutível em \mathbb{Q}[x] então deve existir uma fatoração não-trivial. As únicas possibilidades de degradação de grau para um grau 3 são 1+2 (um fator linear e um quadrático) — não há outras divisões inteiras dos graus. Logo, se o polinômio se fatorasse em \mathbb{Q}[x] ele teria um fator linear, isto é, teria uma raiz racional. Como no passo anterior mostramos que não existe raiz racional, concluímos que não há fator linear em \mathbb{Q}[x] e, portanto, não há fatoração não-trivial. Assim o polinômio é irredutível sobre \mathbb{Q}.
(Dica prática para a prova: para cubos e cúbicos monicos, normalmente basta aplicar o teste da raiz racional; se não aparecer raiz racional, o polinômio é irredutível.)

Resposta

O polinômio \,x^{3}+2x+10\, é irredutível em \mathbb{Q}[x].

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