Sabendo que
é raiz de
, deduza a fatoração completa de
em
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que
(a unidade imaginária) é raiz de
.
A pergunta é: deduzir a fatoração completa de em
(ou seja, escrever
como produto de fatores com coeficientes reais, preferivelmente fatores lineares e quadráticos irredutíveis sobre
).
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: deduzir a fatoração completa de
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
é raiz de (ou seja, ).
Passo 2
Primeiro fato importante (teoria e uso aqui): se um polinômio tem coeficientes reais e uma raiz complexa
(com
), então a conjugada
também é raiz. Isso ocorre porque as operações com coeficientes reais preservam conjugação.
Aqui a raiz é , cuja conjugada é
. Portanto,
também é raiz de
.
Conclusão imediata: o polinômio (que tem raízes
e
) divide
.
Aqui a raiz é
Conclusão imediata: o polinômio
Passo 3
Vamos dividir
por
para encontrar o quociente. A divisão polinomial é feita pelo método clássico: escolhemos o termo que, multiplicado por
, reproduz o termo de maior grau do dividendo, subtraímos, e repetimos.
Escrevo a divisão em etapas:
O primeiro termo do quociente é
, pois
. Multiplicando:
Subtraindo deste resultado do polinômio
, obtemos o resto parcial:
Passo 4
Agora dividimos o resto
por
. O termo necessário é
, pois
. Multiplicando:
Subtraindo, o resto fica zero. Portanto a divisão é exata e o quociente é
Logo obtemos a fatoração inicial
Passo 5
Agora fatoramos
. Há uma fórmula conhecida (diferença de cubos): para qualquer
,
Aplicando com
e
, obtemos
Portanto
Passo 6
Precisamos garantir que essa é a fatoração “completa” em
. Verificamos se o quadrático
pode ser decomposto em fatores lineares reais. Para isso calculamos o discriminante:
Como
,
não tem raízes reais e portanto é irredutível sobre
. O fator
também é irreduzível sobre
(raízes
complexas). O fator
é linear real. Assim a fatoração acima é a fatoração completa em
.