Sabendo que i é raiz de f, deduza a fatoração completa de f em \mathbb{R}[x].
f=x^{5}+x^{3}-x^{2}-1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f(x)=x^{5}+x^{3}-x^{2}-1 e informa que i (a unidade imaginária) é raiz de f.
A pergunta é: deduzir a fatoração completa de f em \mathbb{R}[x] (ou seja, escrever f como produto de fatores com coeficientes reais, preferivelmente fatores lineares e quadráticos irredutíveis sobre \mathbb{R}).
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=x^{5}+x^{3}-x^{2}-1.
  • i é raiz de f (ou seja, f(i)=0).

Passo 2

Primeiro fato importante (teoria e uso aqui): se um polinômio tem coeficientes reais e uma raiz complexa a+bi (com b\neq0), então a conjugada a-bi também é raiz. Isso ocorre porque as operações com coeficientes reais preservam conjugação.
Aqui a raiz é \,i=0+1\cdot i, cuja conjugada é -i. Portanto, -i também é raiz de f.
Conclusão imediata: o polinômio x^{2}+1 (que tem raízes i e -i) divide f(x).

Passo 3

Vamos dividir f(x) por x^{2}+1 para encontrar o quociente. A divisão polinomial é feita pelo método clássico: escolhemos o termo que, multiplicado por x^{2}, reproduz o termo de maior grau do dividendo, subtraímos, e repetimos.
Escrevo a divisão em etapas:
f(x)=x^{5}+x^{3}-x^{2}-1.
O primeiro termo do quociente é x^{3}, pois x^{3}\cdot x^{2}=x^{5}. Multiplicando:
x^{3}\cdot(x^{2}+1)=x^{5}+x^{3}.
Subtraindo deste resultado do polinômio f, obtemos o resto parcial:
(x^{5}+x^{3}-x^{2}-1)-(x^{5}+x^{3})=-x^{2}-1.

Passo 4

Agora dividimos o resto -x^{2}-1 por x^{2}+1. O termo necessário é -1, pois -1\cdot x^{2}=-x^{2}. Multiplicando:
-1\cdot(x^{2}+1)=-x^{2}-1.
Subtraindo, o resto fica zero. Portanto a divisão é exata e o quociente é
x^{3}-1.
Logo obtemos a fatoração inicial
f(x)=(x^{2}+1)(x^{3}-1).

Passo 5

Agora fatoramos x^{3}-1. Há uma fórmula conhecida (diferença de cubos): para qualquer a,
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1, obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Portanto
f(x)=(x^{2}+1)(x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 6

Precisamos garantir que essa é a fatoração “completa” em \mathbb{R}[x]. Verificamos se o quadrático x^{2}+x+1 pode ser decomposto em fatores lineares reais. Para isso calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4=-3.
Como \Delta<0, x^{2}+x+1 não tem raízes reais e portanto é irredutível sobre \mathbb{R}. O fator x^{2}+1 também é irreduzível sobre \mathbb{R} (raízes \pm i complexas). O fator x-1 é linear real. Assim a fatoração acima é a fatoração completa em \mathbb{R}[x].

Resposta

(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}+1)

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