Determine quais dos polinômios abaixo são irredutíveis em \mathbb{Q}[x].
x^{7}+22 x^{3}+11 x^{2}-44 x+33
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o polinômio
f(x)=x^{7}+22x^{3}+11x^{2}-44x+33
é irredutível em \mathbb{Q}[x]. Informação dada: os coeficientes do polinômio são, em ordem, 1,0,0,0,22,11,-44,33 (dos graus 7 a 0). A pergunta é única: decidir se f(x) é irredutível sobre os racionais.
Passo 2
Escolha do método: não foi pedido método específico, então escolhi usar o Critério de Eisenstein porque ele costuma ser o atalho mais direto quando existe um primo que divide todos os coeficientes intermediários e não divide o coeficiente líder, e esse primo aparece aqui (spoiler: 11). Vou aplicar o critério de Eisenstein e explicar por que ele garante irredutibilidade em \mathbb{Q}[x].
Passo 3
Enunciado do Critério de Eisenstein (explicado passo a passo):
Se existe um primo p tal que
p não divide o coeficiente líder de f(x),
p divide todos os demais coeficientes de f(x),
p^{2} não divide o termo constante de f(x),
então f(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x].
Por que isso funciona (ideia de prova, sem pular etapas): suponha que f(x) fosse redutível em \mathbb{Q}[x]. Pelo Lema de Gauss, podemos escrever f(x)=g(x)h(x) com g,h\in\mathbb{Z}[x] primitivos (coeficientes inteiros e conteúdo 1) e com graus positivos. Reduzindo as coeficientes módulo p obtemos \overline{f}(x)=\overline{g}(x)\,\overline{h}(x) em (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]. Pelas hipóteses 1) e 2) temos \overline{f}(x)=x^{n} onde n=\deg f (pois todos os coeficientes exceto o líder são 0 módulo p). Logo \overline{g}(x) e \overline{h}(x) só podem ser potências monômias x^{r} e x^{s} com r,s>0. Isso implica que as constantes de g e h são múltiplas de p, então o produto das constantes (que é a constante de f) é múltiplo de p^{2}, contradizendo a hipótese 3). Portanto f não pode ser fatorado não trivialmente em \mathbb{Z}[x]; pelo Lema de Gauss segue que f é irreduzível em \mathbb{Q}[x].
Passo 4
Aplicando o critério de Eisenstein ao polinômio dado com p=11:
Verifico a condição 1): o coeficiente líder é 1. O primo 11 não divide 1. Logo 1) é satisfeita.
Verifico a condição 2): preciso checar que 11 divide todos os outros coeficientes.
Coeficiente de x^{6} é 0. 11 divide 0.
Coeficiente de x^{5} é 0. 11 divide 0.
Coeficiente de x^{4} é 0. 11 divide 0.
Coeficiente de x^{3} é 22. 22 é múltiplo de 11.
Coeficiente de x^{2} é 11. 11 é múltiplo de 11.
Coeficiente de x^{1} é -44. -44 é múltiplo de 11.
Coeficiente de x^{0} (constante) é 33. 33 é múltiplo de 11.
Assim, todos os coeficientes exceto o líder são divisíveis por 11. Condição 2) satisfeita.
Verifico a condição 3): preciso que 11^{2}=121 NÃO divida o termo constante 33. De fato 121\nmid 33 porque 33<121 e 33/121 não é inteiro. Logo a condição 3) também é satisfeita.
Portanto todas as hipóteses do Critério de Eisenstein com p=11 são verificadas para f(x).
Passo 5
Conclusão lógica: pelo Critério de Eisenstein, f(x) é irreduzível em \mathbb{Z}[x]. Pelo Lema de Gauss isto implica que f(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x].
Resposta
O polinômio x^{7}+22x^{3}+11x^{2}-44x+33 é irreduzível em \mathbb{Q}[x].