Determine quais do polinômios abaixo são irredutíveis sobre \mathbb{Q}.
(a) p(x)=x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}+2 x+2
Passo 1
Enunciado e dados: temos o polinômio p(x)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+2.
O que o problema pede: determinar se p(x) é irredutível sobre \mathbb{Q} (ou seja, se não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau menor com coeficientes racionais).
Passo 2
Primeiro passo prático: testar possíveis fatores lineares (raízes racionais). Vou usar o Teorema da Raiz Racional: se p é monico com coeficientes inteiros, qualquer raiz racional escrita em forma irreduzível \frac{r}{s} tem r divisor do termo constante e s divisor do coeficiente líder; aqui coeficiente líder é 1, termo constante é 2. Logo as possibilidades de raízes racionais são \pm1,\pm2.
Calculo p(1), p(-1), p(2), p(-2):
p(1)=1+2+2+2+2=9,
p(-1)=1-2+2-2+2=1,
p(2)=16+16+8+4+2=46,
p(-2)=16-16+8-4+2=6.
Nenhum é zero, portanto p(x) não tem fator linear em \mathbb{Q}[x].
Passo 3
Se p(x) for redutível sobre \mathbb{Q} e não tiver fator linear, a única outra possibilidade (para grau 4) é que se decomponha como produto de dois quadráticos. Como p é monico com coeficientes inteiros, pelo Lema de Gauss qualquer fatoração em \mathbb{Q}[x] pode ser tomada em \mathbb{Z}[x] com fatores monicos. Então suponho uma fatoração monica:
p(x)=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d),
onde a,b,c,d são inteiros. Vou comparar coeficientes para obter um sistema de equações.
A última equação bd=2 significa que b e d são divisores inteiros de 2. As possibilidades inteiras são (b,d)=(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1). Vou testar cada caso.]
Passo 5
Caso (b,d)=(1,2): da primeira equação c=2-a. A terceira equação dá ad+bc=2a+(2-a)\cdot1=2a+c=2a+(2-a)=a+2. Igualando a 2 obtemos a+2=2\Rightarrow a=0. Então c=2. Verificando a segunda equação: ac+b+d=0\cdot2+1+2=3\neq2. Contradição.
Passo 6
Caso (b,d)=(2,1): novamente c=2-a. A terceira equação dá ad+bc=a\cdot1+ (2-a)\cdot2 = a +4 -2a =4-a. Igualando a 2 obtemos 4-a=2\Rightarrow a=2. Então c=0. Verificando a segunda equação: ac+b+d=2\cdot0+2+1=3\neq2. Contradição.
Passo 7
Caso (b,d)=(-1,-2): c=2-a. A terceira equação dá ad+bc=a(-2)+(2-a)(-1)=-2a -2 + a = -a -2. Igualando a 2 obtemos -a-2=2\Rightarrow a=-4. Então c=2-(-4)=6. Verificando a segunda equação: ac+b+d=(-4)\cdot6 +(-1)+(-2)=-24-3=-27\neq2. Contradição.
Passo 8
Caso (b,d)=(-2,-1): c=2-a. A terceira equação dá ad+bc=a(-1)+(2-a)(-2)=-a -4 +2a = a-4. Igualando a 2 obtemos a-4=2\Rightarrow a=6. Então c=2-6=-4. Verificando a segunda equação: ac+b+d=6\cdot(-4)+(-2)+(-1)=-24-3=-27\neq2. Contradição.
Passo 9
Como examinei todas as possibilidades inteiras para b,d (implicadas por bd=2) e em nenhum caso as equações foram satisfeitas, não existe fatoração monica em \mathbb{Z}[x] do tipo dois quadráticos. Pelo Lema de Gauss, isso impede qualquer fatoração em \mathbb{Q}[x] (já que qualquer fatoração em \mathbb{Q}[x] se traduziria em uma em \mathbb{Z}[x] para polinômios monicos). Juntando com a ausência de raiz racional (nenhum fator linear), concluímos que p(x) não se fatoriza em fatores de grau menor em \mathbb{Q}[x].
Resposta
p(x)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+2 é irredutível sobre \mathbb{Q}.