Considere os seguintes sólidos (e os desenhe): E_{1} é a fatia do queijo minas com formato cilíndrico de altura 2 e raio 5 (com base no plano x y ), situada entre os planos \theta=\pi / 6 e \theta=\pi / 3 ; E_{2} ó temaki descrito em coordenadas esféricas por 0 \leq \rho \leq 3, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \pi / 6.
(a) Calcule o volume de E_{1} e de E_{2}; para E_{1}, é mais apropriado usar coordenadas cilíndricas.
(b) Calcule a massa de E_{1} e de E_{2}, se a densidade \delta(P) é dada pelo quadrado da distância de P á origem.

Passo 1

O enunciado dá dois sólidos e pede volumes e massas com densidade igual ao quadrado da distância ao origem.
Dados e perguntas (vou listar tudo com calma):
  • E_{1}: “fatia do queijo” — é uma parte de um cilindro de altura 2 e raio 5, com a base no plano xy. O cilindro está centrado na origem (base no plano xy significa que a face inferior fica em z=0 e a face superior em z=2). A fatia está entre os planos angulares \theta=\pi/6 e \theta=\pi/3.
    Informações úteis (do enunciado): 0\le r \le 5,\quad \frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{3},\quad 0\le z\le 2.
  • E_{2}: o “temaki” descrito em coordenadas esféricas por 0\le \rho \le 3,\quad 0\le \theta\le 2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6}.(Aqui \rho é a distância ao origem, \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.)
Perguntas:
(a) Calcular os volumes de E_{1} e E_{2}. O enunciado recomenda coordenadas cilíndricas para E_{1}.
(b) Calcular as massas de E_{1} e E_{2} quando a densidade em um ponto P é \delta(P) = (\text{distância de }P\text{ à origem})^2âà.

Passo 2

Conceitos e ferramentas (curta aula prática sobre coordenadas e integrais múltiplas):
  • Coordenadas cilíndricas (r,\theta,z): um ponto tem coordenadas x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z. Ao trocar para integrais, o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz,porque o fator r é o jacobiano da mudança de variáveis. Aqui r representa a distância ao eixo z, \theta o ângulo no plano xy e z a altura.
  • Coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi): um ponto tem x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\; y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\; z=\rho\cos\varphi. O elemento de volume é dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta,pois \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano (explica geometricamente: \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta é o volume do pequeno paralelepípedo esférico).
Para calcular volume: integramos 1 sobre a região com o dV apropriado.
Para calcular massa com densidade \delta(P): integramos \delta(P) sobre a região, ou seja
\text{massa}=\iiint_{E} \delta(P)\, dV.
No nosso caso \delta(P) = (\text{distância ao origem})^{2}â. Em coordenadas:
  • em cilíndricas, a distância ao origem é \sqrt{r^{2}+z^{2}}, então \delta = r^{2}+z^{2};
  • em esféricas, a distância ao origem é \rho, então \delta = \rho^{2}.

Passo 3

Volume de E_{1} (uso coordenadas cilíndricas, como recomendado).
Montagem da integral: integrar 1 sobre a região com dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Os limites são
\theta:\\ \frac{\pi}{6}\to\frac{\pi}{3},\quad r:\\\ 0\to5,\quad z:\\\ 0\to2.
A integral:
V(E_{1})=\int_{\theta=\pi/6}^{\pi/3}\int_{r=0}^{5}\int_{z=0}^{2} r\, dz\, dr\, d\theta.
Calcule passo a passo:
  1. Integral em z:
\int_{0}^{2} r\, dz = r\cdot (2-0)=2r.
  1. Integral em r:
\int_{0}^{5} 2r\, dr = 2\cdot \frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{5} = r^{2}\Big|_{0}^{5} = 25.
  1. Integral em \theta:
\int_{\pi/6}^{\pi/3} 25\, d\theta = 25\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=25\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{25\pi}{6}.
Conclusão:
V(E_{1})=\frac{25\pi}{6}.
Comentário intuitivo (opcional pra fixar): o volume total do cilindro seria \pi\cdot 5^{2}\cdot 2=50\pi. A fatia tem ângulo \pi/6 de um total 2\pi, fração 1/12. Logo 50\pi/12=25\pi/6, mesmo resultado.

Passo 4

Volume de E_{2} (uso coordenadas esféricas).
Montagem da integral: integrar 1 com dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta nos limites dados:
\rho:\\\ 0\to3,\quad \theta:\\\ 0\to 2\pi,\quad \varphi:\\\ 0\to \frac{\pi}{6}.
A integral:
V(E_{2})=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{3} \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Calcule por partes (separando variáveis):
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{3} \rho^{2}\, d\rho = \frac{\rho^{3}}{3}\Big|_{0}^{3} = \frac{27}{3}=9.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/6} \sin\varphi\, d\varphi = -\cos\varphi\Big|_{0}^{\pi/6} = 1-\cos\frac{\pi}{6} = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
V(E_{2}) = 2\pi \cdot 9 \cdot\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 18\pi\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Podemos também expandir:
V(E_{2}) = 18\pi - 9\sqrt{3}\,\pi.

Passo 5

Massa de E_{1}: densidade \delta = (\text{distância ao origem})^{2} = r^{2}+z^{2}â em coordenadas cilíndricas.
Montagem da integral:
m(E_{1})=\iiint_{E_{1}} (r^{2}+z^{2})\, dV =\int_{\theta=\pi/6}^{\pi/3}\int_{r=0}^{5}\int_{z=0}^{2} (r^{2}+z^{2})\, r\, dz\, dr\, d\theta.
Escrever integrando a parte r explicitamente:
m(E_{1})=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\int_{0}^{5}\int_{0}^{2} \big(r^{3} + r z^{2}\big)\, dz\, dr\, d\theta.
Calcule por etapas:
  1. Integral em z:
\int_{0}^{2} \big(r^{3} + r z^{2}\big)\, dz = r^{3}\cdot 2 + r\cdot\frac{z^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = 2r^{3} + r\cdot\frac{8}{3} = 2r^{3} + \frac{8}{3}r.
  1. Integral em r:
\int_{0}^{5}\left(2r^{3} + \frac{8}{3}r\right) dr =2\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{5} + \frac{8}{3}\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{5} = \frac{625}{2} + \frac{100}{3}.
Vamos somar as frações com denominador comum 6:
\frac{625}{2}+\frac{100}{3}=\frac{1875}{6}+\frac{200}{6}=\frac{2075}{6}.
  1. Integral em \theta (fator angular):
m(E_{1})=\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{2075}{6}\, d\theta = \frac{2075}{6}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2075}{6}\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{2075\pi}{36}.
Portanto
m(E_{1})=\frac{2075\pi}{36}.
(Se quiser ver intuitivamente: a presença do r no jacobiano e do r^{2} em \delta produz potências de r mais altas e a massa cresce mais que o volume.)

Passo 6

Massa de E_{2}: densidade em esféricas \delta=\rho^{2}. Em coordenadas esféricas, o integrando para massa é \delta\cdot dV = \rho^{2}\cdot (\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta)=\rho^{4}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Montagem da integral com os limites dados:
m(E_{2})=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{3} \rho^{4}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Calcule por etapas:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{3} \rho^{4}\, d\rho = \frac{\rho^{5}}{5}\Big|_{0}^{3} = \frac{3^{5}}{5} = \frac{243}{5}.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/6} \sin\varphi\, d\varphi = 1-\cos\frac{\pi}{6} = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando:
m(E_{2}) = 2\pi\cdot \frac{243}{5}\cdot\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{486\pi}{5}\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Expandindo, se preferir:
m(E_{2}) = \frac{486\pi}{5} - \frac{243\sqrt{3}\,\pi}{5}.

Resposta

V(E_{1})=\dfrac{25\pi}{6}
V(E_{2})=18\pi\!\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=18\pi-9\sqrt{3}\,\pi
m(E_{1})=\dfrac{2075\pi}{36}
m(E_{2})=\dfrac{486\pi}{5}\!\left(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{486\pi}{5}-\dfrac{243\sqrt{3}\,\pi}{5}

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