Considere os seguintes sólidos (e os desenhe): E_{1} é a fatia do queijo minas com formato cilíndrico de altura 2 e raio 5 (com base no plano x y ), situada entre os planos \theta=\pi / 6 e \theta=\pi / 3 ; E_{2} ó temaki descrito em coordenadas esféricas por 0 \leq \rho \leq 3, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \varphi \leq \pi / 6.
(a) Calcule o volume de E_{1} e de E_{2}; para E_{1}, é mais apropriado usar coordenadas cilíndricas.
(b) Calcule a massa de E_{1} e de E_{2}, se a densidade \delta(P) é dada pelo quadrado da distância de P á origem.
Passo 1
O enunciado dá dois sólidos e pede volumes e massas com densidade igual ao quadrado da distância ao origem.
Dados e perguntas (vou listar tudo com calma):
E_{1}: “fatia do queijo” — é uma parte de um cilindro de altura 2 e raio 5, com a base no plano xy. O cilindro está centrado na origem (base no plano xy significa que a face inferior fica em z=0 e a face superior em z=2). A fatia está entre os planos angulares \theta=\pi/6 e \theta=\pi/3.
Informações úteis (do enunciado):0\le r \le 5,\quad \frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{3},\quad 0\le z\le 2.
E_{2}: o “temaki” descrito em coordenadas esféricas por0\le \rho \le 3,\quad 0\le \theta\le 2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{6}.(Aqui \rho é a distância ao origem, \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.)
Perguntas:
(a) Calcular os volumes de E_{1} e E_{2}. O enunciado recomenda coordenadas cilíndricas para E_{1}.
(b) Calcular as massas de E_{1} e E_{2} quando a densidade em um ponto P é \delta(P) = (\text{distância de }P\text{ à origem})^2.
Passo 2
Conceitos e ferramentas (curta aula prática sobre coordenadas e integrais múltiplas):
Coordenadas cilíndricas (r,\theta,z): um ponto tem coordenadas x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z. Ao trocar para integrais, o elemento de volume édV = r\,dr\,d\theta\,dz,porque o fator r é o jacobiano da mudança de variáveis. Aqui r representa a distância ao eixo z, \theta o ângulo no plano xy e z a altura.
Coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi): um ponto tem x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\; y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\; z=\rho\cos\varphi. O elemento de volume édV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta,pois \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano (explica geometricamente: \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta é o volume do pequeno paralelepípedo esférico).
Para calcular volume: integramos 1 sobre a região com o dV apropriado.
Para calcular massa com densidade \delta(P): integramos \delta(P) sobre a região, ou seja
\text{massa}=\iiint_{E} \delta(P)\, dV.
No nosso caso \delta(P) = (\text{distância ao origem})^{2}. Em coordenadas:
em cilíndricas, a distância ao origem é \sqrt{r^{2}+z^{2}}, então \delta = r^{2}+z^{2};
em esféricas, a distância ao origem é \rho, então \delta = \rho^{2}.
Passo 3
Volume de E_{1} (uso coordenadas cilíndricas, como recomendado).
Montagem da integral: integrar 1 sobre a região com dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Os limites são
Comentário intuitivo (opcional pra fixar): o volume total do cilindro seria \pi\cdot 5^{2}\cdot 2=50\pi. A fatia tem ângulo \pi/6 de um total 2\pi, fração 1/12. Logo 50\pi/12=25\pi/6, mesmo resultado.
Passo 4
Volume de E_{2} (uso coordenadas esféricas).
Montagem da integral: integrar 1 com dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta nos limites dados:
(Se quiser ver intuitivamente: a presença do r no jacobiano e do r^{2} em \delta produz potências de r mais altas e a massa cresce mais que o volume.)
Passo 6
Massa de E_{2}: densidade em esféricas \delta=\rho^{2}. Em coordenadas esféricas, o integrando para massa é \delta\cdot dV = \rho^{2}\cdot (\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta)=\rho^{4}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.