Calcule
tais que
onde
ou
dos polinômios abaixo:
em
Passo 1
O enunciado pede para encontrar polinômios
e
tais que
em
, com a condição
.
Dados fornecidos:
e estamos trabalhando em
(coeficientes módulo
).
Passo 2
Primeiro vamos reduzir os coeficientes de
e
módulo
. Lembre: em
os equivalentes são
,
,
. Aplicando isso:
Para
temos
Para
temos
Explicando rapidinho: reduzir coeficientes módulo
significa substituir cada coeficiente por seu resto ao dividir por
. Por exemplo
deixa resto
, então usamos
.
Passo 3
Agora fazemos a divisão de polinômios em
(mesmo procedimento da divisão usual, só que todas as operações são feitas módulo
).
Começamos dividindo o termo de maior grau de
pelo de
:
Multiplicamos
por
:
Subtraímos este produto de
(tudo em
):
Fazendo a subtração coeficiente a coeficiente (e reduzindo módulo
):
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: (pois em ), - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Logo o resto após o primeiro passo é
Passo 4
Agora dividimos o termo líder do novo resto pelo termo líder de
:
Multiplicamos
por
:
Subtraímos do resto atual:
Subtração coeficiente a coeficiente (em
):
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - constante:
.
Portanto o resto final é
Como
, a divisão termina aqui.
O quociente acumulado é
(os termos que obtivemos:
e
).
Passo 5
Cheque rápido (importante na prova): ver se
retorna
em
.
Calcule
:
Agora some
:
Somando coeficientes módulo
:
-
, -
, -
.
Fica
, que é exatamente a forma de
reduzida em
. Portanto está correto.