Calcule q(x), r(x) tais que f(x)=q(x) g(x)+r(x) onde r(x) ou \partial r<\partial g dos polinômios abaixo:
f(x)=x^{5}-x^{3}+3 x-5, g(x)=x^{3}+x-1 em \mathbb{Z}_{3}[x]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x)
em \mathbb{Z}_{3}[x], com a condição \deg r<\deg g.
Dados fornecidos:
f(x)=x^{5}-x^{3}+3x-5, \qquad g(x)=x^{3}+x-1,
e estamos trabalhando em \mathbb{Z}_{3} (coeficientes módulo 3).

Passo 2

Primeiro vamos reduzir os coeficientes de f e g módulo 3. Lembre: em \mathbb{Z}_{3} os equivalentes são -1\equiv 2, 3\equiv 0, -5\equiv -5+6\equiv 1. Aplicando isso:
Para f(x)=x^{5}-x^{3}+3x-5 temos
f(x)\equiv x^{5} + 2x^{3} + 0\cdot x + 1 = x^{5}+2x^{3}+1.
Para g(x)=x^{3}+x-1 temos
g(x)\equiv x^{3}+x+2.
Explicando rapidinho: reduzir coeficientes módulo 3 significa substituir cada coeficiente por seu resto ao dividir por 3. Por exemplo -1 deixa resto 2, então usamos 2.

Passo 3

Agora fazemos a divisão de polinômios em \mathbb{Z}_{3}[x] (mesmo procedimento da divisão usual, só que todas as operações são feitas módulo 3).
Começamos dividindo o termo de maior grau de f pelo de g:
\text{termo principal: }\frac{x^{5}}{x^{3}}=x^{2}.
Multiplicamos g(x) por x^{2}:
x^{2}\cdot g(x)=x^{2}\cdot(x^{3}+x+2)=x^{5}+x^{3}+2x^{2}.
Subtraímos este produto de f(x) (tudo em \mathbb{Z}_{3}):
\big(x^{5}+2x^{3}+0x^{2}+0x+1\big)-\big(x^{5}+x^{3}+2x^{2}\big).
Fazendo a subtração coeficiente a coeficiente (e reduzindo módulo 3):
  • coeficiente de x^{5}: 1-1=0,
  • coeficiente de x^{3}: 2-1=1,
  • coeficiente de x^{2}: 0-2=-2\equiv 1 (pois -2\equiv 1 em \mathbb{Z}_3),
  • coeficiente de x: 0-0=0,
  • termo constante: 1-0=1.
Logo o resto após o primeiro passo é
x^{3}+x^{2}+0\cdot x+1 = x^{3}+x^{2}+1.

Passo 4

Agora dividimos o termo líder do novo resto pelo termo líder de g:
\frac{x^{3}}{x^{3}}=1.
Multiplicamos g(x) por 1:
1\cdot g(x)=x^{3}+x+2.
Subtraímos do resto atual:
\big(x^{3}+x^{2}+0x+1\big)-\big(x^{3}+x+2\big).
Subtração coeficiente a coeficiente (em \mathbb{Z}_{3}):
  • coeficiente de x^{3}: 1-1=0,
  • coeficiente de x^{2}: 1-0=1,
  • coeficiente de x: 0-1=-1\equiv 2,
  • constante: 1-2=-1\equiv 2.
Portanto o resto final é
r(x)=x^{2}+2x+2.
Como \deg r=2<\deg g=3, a divisão termina aqui.
O quociente acumulado é q(x)=x^{2}+1 (os termos que obtivemos: x^{2} e +1).

Passo 5

Cheque rápido (importante na prova): ver se q(x)g(x)+r(x) retorna f(x) em \mathbb{Z}_{3}[x].
Calcule q(x)g(x)=(x^{2}+1)(x^{3}+x+2):
(x^{2}+1)(x^{3}+x+2)=x^{5}+2x^{3}+2x^{2}+x+2.
Agora some r(x)=x^{2}+2x+2:
x^{5}+2x^{3}+(2x^{2}+x^{2})+(x+2x)+(2+2).
Somando coeficientes módulo 3:
  • 2x^{2}+1x^{2}=3x^{2}\equiv 0,
  • x+2x=3x\equiv 0,
  • 2+2=4\equiv 1.
Fica x^{5}+2x^{3}+1, que é exatamente a forma de f(x) reduzida em \mathbb{Z}_{3}. Portanto está correto.

Resposta

q(x)=x^{2}+1
r(x)=x^{2}+2x+2

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