Determine quais do polinômios abaixo são irredutíveis sobre \mathbb{Q}.
p(x)=x^{3}-x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o polinômio p(x)=x^{3}-x+1 é irreduzível sobre \mathbb{Q}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;1. O polinômio é p(x)=x^{3}-x+1.
\;2. Os coeficientes são inteiros.
\;3. O grau de p é 3.
A pergunta clara é: “ p(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x]?” — ou seja, não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau menor com coeficientes racionais.

Passo 2

Por que eu escolho o método que vou usar: para polinômios de grau 2 ou 3 existe uma observação prática e muito útil: se um polinômio com coeficientes racionais de grau 2 ou 3 for redutível em \mathbb{Q}[x], então ele tem uma raiz racional. Explico isto rapidamente: se um polinômio de grau 3 se fatorasse em \mathbb{Q}[x] então a única forma possível (com graus inteiros positivos) é um fator linear vezes um fator quadrático; o fator linear corresponde a uma raiz racional. Portanto, para esses graus basta testar se existe raiz racional. Se não existir raiz racional, o polinômio é irreduzível.
Vou, então, usar o Teorema das Raízes Racionais (Rational Root Theorem) para testar possíveis raízes racionais. Esse é o método mais direto aqui e funciona bem sem cálculo pesado — é ideal para uma prova.

Passo 3

Explicando o Teorema das Raízes Racionais de forma didática: seja um polinômio com coeficientes inteiros
f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,
onde a_n e a_0 são inteiros e a_n\neq 0. Se \dfrac{p}{q} (em forma irredutível, q>0) é uma raiz racional de f, então p divide a_0 e q divide a_n. Intuição/prova curta: substitua x=\dfrac{p}{q}, multiplique por q^n e observe que o lado esquerdo se torna múltiplo de p, o termo independente dá informação sobre divisibilidade por p; rearranjando conclui-se que p\mid a_0 e, por outro lado, olhando fatores de q conclui-se q\mid a_n.
No caso de polinômio monico (isto é, a_n=1), qualquer raiz racional \dfrac{p}{q} em forma irredutível tem q=1, então a raiz racional tem de ser um inteiro que divide a_0. Ou seja, para polinômio monico basta testar os divisores inteiros do termo constante.

Passo 4

Aplicando o Teorema das Raízes Racionais a p(x)=x^{3}-x+1: aqui p(x) é monico ( a_3=1) e o termo constante é a_0=1. Então qualquer raiz racional inteira deve dividir 1. Os divisores inteiros de 1 são apenas 1 e -1. Portanto os únicos candidatos a raiz racional são 1 e -1.
Agora calculamos p(1) e p(-1) passo a passo:
p(1)=1^{3}-1+1=1-1+1=1.
p(-1)=(-1)^{3}-(-1)+1=-1+1+1=1.
Em ambos os casos obtivemos 1, não zero. Logo nem 1 nem -1 são raízes de p(x).

Passo 5

Conclusão lógica final: como p(x) tem grau 3, se fosse redutível em \mathbb{Q}[x] teria que ter uma raiz racional (um fator linear). Testamos todos os candidatos possíveis de acordo com o Teorema das Raízes Racionais e não encontramos nenhuma raiz racional. Portanto p(x) não tem fator linear em \mathbb{Q}[x] e, por consequência, não pode ser fatorado em polinômios de graus menores com coeficientes racionais. Assim p(x) é irreduzível sobre \mathbb{Q}.
Sinta-se confiante: esse é o caminho padrão numa prova — para cúbicos verificar raízes racionais é rápido e definitivo.

Resposta

p(x)=x^{3}-x+1 é irreduzível sobre \mathbb{Q}.

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