Determine quais do polinômios abaixo são irredutíveis sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o polinômio
é irreduzível sobre
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O polinômio é
.
Os coeficientes são inteiros.
O grau de
é
.
A pergunta clara é: “ é irreduzível em
?” — ou seja, não pode ser escrito como produto de dois polinômios de grau menor com coeficientes racionais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A pergunta clara é: “
Passo 2
Por que eu escolho o método que vou usar: para polinômios de grau
ou
existe uma observação prática e muito útil: se um polinômio com coeficientes racionais de grau
ou
for redutível em
, então ele tem uma raiz racional. Explico isto rapidamente: se um polinômio de grau
se fatorasse em
então a única forma possível (com graus inteiros positivos) é um fator linear vezes um fator quadrático; o fator linear corresponde a uma raiz racional. Portanto, para esses graus basta testar se existe raiz racional. Se não existir raiz racional, o polinômio é irreduzível.
Vou, então, usar o Teorema das Raízes Racionais (Rational Root Theorem) para testar possíveis raízes racionais. Esse é o método mais direto aqui e funciona bem sem cálculo pesado — é ideal para uma prova.
Passo 3
Explicando o Teorema das Raízes Racionais de forma didática: seja um polinômio com coeficientes inteiros
onde
e
são inteiros e
. Se
(em forma irredutível,
) é uma raiz racional de
, então
divide
e
divide
. Intuição/prova curta: substitua
, multiplique por
e observe que o lado esquerdo se torna múltiplo de
, o termo independente dá informação sobre divisibilidade por
; rearranjando conclui-se que
e, por outro lado, olhando fatores de
conclui-se
.
No caso de polinômio monico (isto é,
), qualquer raiz racional
em forma irredutível tem
, então a raiz racional tem de ser um inteiro que divide
. Ou seja, para polinômio monico basta testar os divisores inteiros do termo constante.
Passo 4
Aplicando o Teorema das Raízes Racionais a
: aqui
é monico (
) e o termo constante é
. Então qualquer raiz racional inteira deve dividir
. Os divisores inteiros de
são apenas
e
. Portanto os únicos candidatos a raiz racional são
e
.
Agora calculamos
e
passo a passo:
Em ambos os casos obtivemos
, não zero. Logo nem
nem
são raízes de
.
Passo 5
Conclusão lógica final: como
tem grau
, se fosse redutível em
teria que ter uma raiz racional (um fator linear). Testamos todos os candidatos possíveis de acordo com o Teorema das Raízes Racionais e não encontramos nenhuma raiz racional. Portanto
não tem fator linear em
e, por consequência, não pode ser fatorado em polinômios de graus menores com coeficientes racionais. Assim
é irreduzível sobre
.
Sinta-se confiante: esse é o caminho padrão numa prova — para cúbicos verificar raízes racionais é rápido e definitivo.