Seja
\mathbb{K}
um corpo e
p(x) \in \mathbb{K}[x]
um polinômio irredutível.
Se
f(x), g(x) \in \mathbb{K}[x]
tais que
p(x) \mid f(x) g(x)
então
p(x) \mid f(x)
ou
p(x) \mid g(x)
.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
  • Temos um corpo \mathbb{K}.
  • Temos um polinômio p(x)\in\mathbb{K}[x] que é irreducível (ou seja, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor, ambos não constantes).
  • Temos f(x),\,g(x)\in\mathbb{K}[x].
  • Hipótese: p(x) divide o produto f(x)g(x), ou seja,
p(x)\mid f(x)g(x).
O que precisa ser mostrado:
  • A conclusão que desejamos provar é que
p(x)\mid f(x)\quad\text{ou}\quad p(x)\mid g(x).
Essas são todas as informações do enunciado e a pergunta a ser respondida. A partir daqui vamos começar a provar passo a passo.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): é comum provar este tipo de afirmação assumindo que p(x) não divide um dos fatores e então mostrar que necessariamente divide o outro. Ou seja, provaremos a afirmação demonstrando que, se p(x)\nmid f(x), então p(x)\mid g(x). Isso cobre o “ou” da conclusão. Para isso vamos usar conceitos básicos sobre divisores comuns e uma ferramenta muito útil em \mathbb{K}[x]: o lema de Bézout (identidade de Bézout) que garante uma combinação linear do tipo a(x)p(x)+b(x)f(x)=1 sempre que \gcd(p,f)=1. Antes de aplicar essa ferramenta, precisamos entender por que \gcd(p,f)=1 quando p é irreducível e não divide f.

Passo 3

Explicando o que significa "p(x) irreduzível"í e por que isso implica que qualquer divisor comum com f(x) é trivial:
  • Irreduzível: p(x) é irreduzível em \mathbb{K}[x] significa que, sempre que escrevemos p(x)=u(x)v(x), então ou u(x) ou v(x) tem grau zero (isto é, é uma constante não nula), ou equivalentemente uma unidade em \mathbb{K}[x]. Em \mathbb{K}[x] as únicas unidades são os polinômios constantes não nulos (os elementos de \mathbb{K}^\times).
  • Agora, suponha que d(x) seja um divisor comum de p(x) e f(x). Então d(x)\mid p(x). Como p é irreduzível, os divisores não nulos de p são apenas constantes (unidades) ou associações de p (isto é, constantes vezes p). Se d(x) fosse uma associação de p(x) (isto é, d(x)=c\cdot p(x) com c\in\mathbb{K}^\times), então p(x) dividiria f(x) (porque d(x)\mid f(x) implicaria p(x)\mid f(x)), o que contradiz a hipótese p(x)\nmid f(x). Portanto a única possibilidade é que todo divisor comum d(x) seja uma unidade (constante não nula). Em outras palavras,
\gcd\bigl(p(x),\,f(x)\bigr)=1.
Este é um ponto crucial: irreducibilidade de p + p\nmid f implica que p e f são primos entre si (ou seja, seu máximo divisor comum é uma unidade).

Passo 4

Lema de Bézout em \mathbb{K}[x] e por que podemos usá-lo:
  • Fato usado: \mathbb{K}[x] é um domínio euclidiano (usando grau como função euclidiana), logo é um domínio principal. Nesses anéis vale o Teorema de Bézout: se \gcd(A,B)=1 em \mathbb{K}[x], então existem polinômios u(x),v(x)\in\mathbb{K}[x] tais que
u(x)A(x)+v(x)B(x)=1.
  • Aplicando ao nosso caso com A(x)=p(x) e B(x)=f(x), como mostramos no passo anterior \gcd(p,f)=1. Portanto existem a(x),b(x)\in\mathbb{K}[x] tais que
a(x)p(x)+b(x)f(x)=1.
(Se você nunca viu a prova do lema de Bézout para polinômios, ela é feita pelo algoritmo de Euclides para polinômios — exatamente análogo ao caso dos inteiros, trocando resto por polinômio de menor grau — e não vamos precisar executar o algoritmo explicitamente aqui, só usar o resultado.)

Passo 5

Usando a identidade de Bézout para concluir que p(x) divide g(x):
  • Multiplique a identidade de Bézout por g(x). Assim obtemos
a(x)p(x)g(x)+b(x)f(x)g(x)=g(x).
  • Observações sobre divisibilidade:
    1. O termo a(x)p(x)g(x) é claramente divisível por p(x), porque contém o fator p(x).
    2. O termo b(x)f(x)g(x) também é divisível por p(x), porque por hipótese p(x)\mid f(x)g(x), então p(x) divide b(x)f(x)g(x) (multiplicar por b(x) não afeta a divisibilidade por p).
  • Como ambos os termos à esquerda são divisíveis por p(x), a soma também é divisível por p(x). Logo p(x) divide o lado direito:
p(x)\mid g(x).
  • Assim, começando da hipótese p(x)\nmid f(x) chegamos à conclusão p(x)\mid g(x). Isso prova que, se p(x) não divide f(x), então necessariamente divide g(x).

Passo 6

Concluindo e observações finais:
  • Relembrando a lógica: a hipótese inicial foi p(x)\mid f(x)g(x). Mostramos que se p(x)\nmid f(x) então p(x)\mid g(x). Portanto, em todo caso, tem-se que p(x)\mid f(x) ou p(x)\mid g(x). Isso completa a prova.
  • Comentário didático rápido: a razão pela qual isso funciona é que em \mathbb{K}[x] (como em qualquer domínio principal) polinômios irreduzíveis “comportam-se como” números primos: eles não podem dividir um produto sem dividir ao menos um dos fatores. A ferramenta técnica que transforma “gcd = 1” em uma combinação linear é a identidade de Bézout, que funciona graças ao algoritmo de Euclides para polinômios.

Resposta

p(x)\mid f(x) ou p(x)\mid g(x)

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