Seja
um corpo e
um polinômio irredutível.
Se
tais que
então
ou
.
um corpo e
um polinômio irredutível.
Se
tais que
então
ou
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a seguinte conclusão:
- Temos um corpo
. - Temos um polinômio
que é irreducível (ou seja, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor, ambos não constantes). - Temos
. - Hipótese:
divide o produto , ou seja,
O que precisa ser mostrado:
- A conclusão que desejamos provar é que
Essas são todas as informações do enunciado e a pergunta a ser respondida. A partir daqui vamos começar a provar passo a passo.
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): é comum provar este tipo de afirmação assumindo que
não divide um dos fatores e então mostrar que necessariamente divide o outro. Ou seja, provaremos a afirmação demonstrando que, se
, então
. Isso cobre o “ou” da conclusão. Para isso vamos usar conceitos básicos sobre divisores comuns e uma ferramenta muito útil em
: o lema de Bézout (identidade de Bézout) que garante uma combinação linear do tipo
sempre que
. Antes de aplicar essa ferramenta, precisamos entender por que
quando
é irreducível e não divide
.
Passo 3
Explicando o que significa
e por que isso implica que qualquer divisor comum com
é trivial:
-
Irreduzível:
é irreduzível em significa que, sempre que escrevemos , então ou ou tem grau zero (isto é, é uma constante não nula), ou equivalentemente uma unidade em . Em as únicas unidades são os polinômios constantes não nulos (os elementos de ). -
Agora, suponha que
seja um divisor comum de e . Então . Como é irreduzível, os divisores não nulos de são apenas constantes (unidades) ou associações de (isto é, constantes vezes ). Se fosse uma associação de (isto é, com ), então dividiria (porque implicaria ), o que contradiz a hipótese . Portanto a única possibilidade é que todo divisor comum seja uma unidade (constante não nula). Em outras palavras,
Este é um ponto crucial: irreducibilidade de
+
implica que
e
são primos entre si (ou seja, seu máximo divisor comum é uma unidade).
Passo 4
Lema de Bézout em
e por que podemos usá-lo:
- Fato usado:
é um domínio euclidiano (usando grau como função euclidiana), logo é um domínio principal. Nesses anéis vale o Teorema de Bézout: se em , então existem polinômios tais que
- Aplicando ao nosso caso com
e , como mostramos no passo anterior . Portanto existem tais que
(Se você nunca viu a prova do lema de Bézout para polinômios, ela é feita pelo algoritmo de Euclides para polinômios — exatamente análogo ao caso dos inteiros, trocando resto por polinômio de menor grau — e não vamos precisar executar o algoritmo explicitamente aqui, só usar o resultado.)
Passo 5
Usando a identidade de Bézout para concluir que
divide
:
- Multiplique a identidade de Bézout por
. Assim obtemos
-
Observações sobre divisibilidade:
- O termo
é claramente divisível por , porque contém o fator . - O termo
também é divisível por , porque por hipótese , então divide (multiplicar por não afeta a divisibilidade por ).
- O termo
-
Como ambos os termos à esquerda são divisíveis por
, a soma também é divisível por . Logo divide o lado direito:
- Assim, começando da hipótese
chegamos à conclusão . Isso prova que, se não divide , então necessariamente divide .
Passo 6
Concluindo e observações finais:
-
Relembrando a lógica: a hipótese inicial foi
. Mostramos que se então . Portanto, em todo caso, tem-se que ou . Isso completa a prova. -
Comentário didático rápido: a razão pela qual isso funciona é que em
(como em qualquer domínio principal) polinômios irreduzíveis “comportam-se como” números primos: eles não podem dividir um produto sem dividir ao menos um dos fatores. A ferramenta técnica que transforma “gcd = 1” em uma combinação linear é a identidade de Bézout, que funciona graças ao algoritmo de Euclides para polinômios.