Mostre que x^{3}+x+1 é irredutivel em \mathbb{Z}_{5}. Determine o corpo \mathbb{Z}_{5}[x] / J, onde J=\left(x^{3}+x+1\right) \mathbb{Z}_{5}[x].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que o polinômio \;x^{3}+x+1\; é irredutível em \mathbb{Z}_{5}, e (2) determinar o corpo \mathbb{Z}_{5}[x]/J onde J=(x^{3}+x+1)\mathbb{Z}_{5}[x].
Informações dadas e relevantes:
\;x^{3}+x+1\; é um polinômio com coeficientes em \mathbb{Z}_{5} (o corpo com 5 elementos).
J é o ideal gerado por esse polinômio em \mathbb{Z}_{5}[x].

Passo 2

Primeiro vamos entender um fato útil e simples (vou explicar devagar): em um corpo F (como \mathbb{Z}_{5}), um polinômio de grau 3 é reduzível se, e somente se, ele tem uma raiz em F. Por quê? Porque se um polinômio de grau 3 se fatorasse, a única possibilidade (até ordem) seria um fator de grau 1 (uma raiz) vezes um fator de grau 2. Então, testar irreducibilidade para cubos em F[x] reduz-se a procurar raízes em F.
Vamos testar se \;f(x)=x^{3}+x+1\; tem alguma raiz em \mathbb{Z}_{5}=\{0,1,2,3,4\}. Vou calcular f(a) para a=0,1,2,3,4, sempre reduzindo módulo 5.
Calculemos:
f(0)=0^{3}+0+1=1\equiv 1\pmod{5}.
f(1)=1^{3}+1+1=3\equiv 3\pmod{5}.
f(2)=2^{3}+2+1=8+2+1=11\equiv 11-10=1\pmod{5}.
f(3)=3^{3}+3+1=27+3+1=31\equiv 31-30=1\pmod{5}.
f(4)=4^{3}+4+1=64+4+1=69\equiv 69-65=4\pmod{5}.
Em nenhum caso f(a)\equiv 0\pmod{5}. Logo, f não tem raízes em \mathbb{Z}_{5}.

Passo 3

Pelo raciocínio do passo anterior, como \;f(x)=x^{3}+x+1\; é de grau 3 e não tem raízes em \mathbb{Z}_{5}, ele é irredutível em \mathbb{Z}_{5}[x].
Agora uma consequência padrão da teoria: em F[x] (com F corpo), se f é um polinômio irredutível, então o ideal (f) é maximal e o quociente F[x]/(f) é um corpo. Vou explicar intuitivamente: F[x]/(f) é o menor anel onde f tem uma raiz (a classe de x). Se f é irredutível, não existe fator não-trivial que provoque um ideal próprio maior — formalmente, o ideal gerado por um irreduzível em F[x] é maximal — e portanto o quociente é um corpo.
Aplicando isso aqui, com F=\mathbb{Z}_{5} e f=x^{3}+x+1, obtemos que J=(f) é maximal e \mathbb{Z}_{5}[x]/J é um corpo.

Passo 4

Vamos descrever explicitamente \mathbb{Z}_{5}[x]/J.
Denote por \alpha a classe de x em \mathbb{Z}_{5}[x]/J, isto é \alpha = x + J. Por construção, \alpha satisfaz a relação polinomial
\alpha^{3}+\alpha+1=0
no quociente. Isolando \alpha^{3} obtemos a relação de redução:
\alpha^{3} = -\alpha -1.
Em \mathbb{Z}_{5} temos -1\equiv 4, e -\alpha\equiv 4\alpha. Portanto
\alpha^{3}=4\alpha+4
no corpo \mathbb{Z}_{5}[x]/J.
Como f tem grau 3, cada classe de polinômios mod f tem representante único de grau ≤ 2. Assim os elementos do quociente são exatamente as combinações lineares
a+b\alpha + c\alpha^{2}\qquad\text{com }a,b,c\in\mathbb{Z}_{5}.
A adição é termo a termo nos coeficientes em \mathbb{Z}_{5}. A multiplicação usa a relação \alpha^{3}=4\alpha+4 para reduzir potências de \alpha de grau ≥3 de volta para grau ≤2.
O corpo resultante tem 5^{3}=125 elementos. Em linguagem padrão: \mathbb{Z}_{5}[x]/(x^{3}+x+1) é um corpo de extensão de grau 3 de \mathbb{Z}_{5}, isomorfo ao corpo finito com 125 elementos, frequentemente denotado \mathbb{F}_{5^{3}} ou \mathrm{GF}(125).

Passo 5

Para ficar bem concreto, resumo a estrutura com uma frase prática que você pode usar na prova:
  • Elementos: todos os polinômios a+b\alpha+c\alpha^{2} com a,b,c\in\mathbb{Z}_{5}.
  • Regra de redução: substituir \alpha^{3} por 4\alpha+4 sempre que aparecer.
  • Ordem do corpo: 125.
Um exemplo rápido de multiplicação para ver como aplicar a redução: \alpha\cdot\alpha^{2}=\alpha^{3}=4\alpha+4.

Resposta

x^{3}+x+1 é irredutível em \mathbb{Z}_{5}.\n \mathbb{Z}_{5}[x]/J\cong \mathbb{F}_{5^{3}}=\{a+b\alpha+c\alpha^{2}\mid a,b,c\in\mathbb{Z}_{5}\}, com \alpha^{3}+\alpha+1=0 (ou \alpha^{3}=4\alpha+4); é um corpo com 125 elementos.

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