Mostre que
é irredutivel em
. Determine o corpo
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar que o polinômio
é irredutível em
, e (2) determinar o corpo
onde
.
Informações dadas e relevantes:
é um polinômio com coeficientes em
(o corpo com
elementos).
é o ideal gerado por esse polinômio em
.
Passo 2
Primeiro vamos entender um fato útil e simples (vou explicar devagar): em um corpo
(como
), um polinômio de grau
é reduzível se, e somente se, ele tem uma raiz em
. Por quê? Porque se um polinômio de grau
se fatorasse, a única possibilidade (até ordem) seria um fator de grau
(uma raiz) vezes um fator de grau
. Então, testar irreducibilidade para cubos em
reduz-se a procurar raízes em
.
Vamos testar se
tem alguma raiz em
. Vou calcular
para
, sempre reduzindo módulo
.
Calculemos:
Em nenhum caso
. Logo,
não tem raízes em
.
Passo 3
Pelo raciocínio do passo anterior, como
é de grau
e não tem raízes em
, ele é irredutível em
.
Agora uma consequência padrão da teoria: em
(com
corpo), se
é um polinômio irredutível, então o ideal
é maximal e o quociente
é um corpo. Vou explicar intuitivamente:
é o menor anel onde
tem uma raiz (a classe de
). Se
é irredutível, não existe fator não-trivial que provoque um ideal próprio maior — formalmente, o ideal gerado por um irreduzível em
é maximal — e portanto o quociente é um corpo.
Aplicando isso aqui, com
e
, obtemos que
é maximal e
é um corpo.
Passo 4
Vamos descrever explicitamente
.
Denote por
a classe de
em
, isto é
. Por construção,
satisfaz a relação polinomial
no quociente. Isolando
obtemos a relação de redução:
Em
temos
, e
. Portanto
no corpo
.
Como
tem grau
, cada classe de polinômios mod
tem representante único de grau ≤
. Assim os elementos do quociente são exatamente as combinações lineares
A adição é termo a termo nos coeficientes em
. A multiplicação usa a relação
para reduzir potências de
de grau ≥3 de volta para grau ≤2.
O corpo resultante tem
elementos. Em linguagem padrão:
é um corpo de extensão de grau
de
, isomorfo ao corpo finito com
elementos, frequentemente denotado
ou
.
Passo 5
Para ficar bem concreto, resumo a estrutura com uma frase prática que você pode usar na prova:
- Elementos: todos os polinômios
com . - Regra de redução: substituir
por sempre que aparecer. - Ordem do corpo:
.
Um exemplo rápido de multiplicação para ver como aplicar a redução:
.