Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(y, 2 x+y).

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definido por
T(x,y) = (y,\;2x + y).
O que vamos precisar para resolver: representar T na base canônica por uma matriz A, achar o polinômio característico \det(A-\lambda I), resolver para os autovalores \lambda e, por fim, obter os autovetores resolvendo (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Para montar a matriz de T na base canônica, calculamos
T(e_1)=T(1,0)=(0,2), \quad T(e_2)=T(0,1)=(1,1).
Isso dá os vetores coluna de A, logo
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[6pt] 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico de A é
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\[4pt] 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo,
p(\lambda)=(-\lambda)(1-\lambda)-2\cdot1 =-\lambda + \lambda^2 -2 =\lambda^2 - \lambda - 2.]

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos
\lambda^2 - \lambda - 2 = 0.
Fatorizando,
(\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0,
logo os autovalores são \lambda_1 = 2 e \lambda_2 = -1.

Passo 5

Autovetor associado a \lambda_1=2.
Resolvemos
(A - 2I)v = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[4pt] 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -2x + y = 0, ou seja y = 2x. Podemos escolher x=1, dando o autovetor
v_1 = (1,2).
O espaço próprio é \mathrm{span}\{(1,2)\}.]

Passo 6

Autovetor associado a \lambda_2=-1.
Resolvemos
(A + I)v = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem x + y = 0, logo y = -x. Escolhendo x=1, obtemos
v_2 = (1,-1).
O espaço próprio é \mathrm{span}\{(1,-1)\}.]

Resposta

Polinômio característico: p(\lambda)=\lambda^2 - \lambda - 2.
Autovalores: \lambda_1 = 2, \lambda_2 = -1.
Autovetores: para \lambda_1=2, quaisquer múltiplos de (1,2); para \lambda_2=-1, quaisquer múltiplos de (1,-1).

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