Em cada item abaixo, dê exemplo, se possível, de uma transformação linear que satisfaz a condição dada, através de uma matriz associada. T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) com \operatorname{dim} \mathrm{N}(T)=2.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de transformação linear \displaystyle T: M_{2}(\mathbb{R}) \to M_{2}(\mathbb{R})
tal que \dim \mathrm{N}(T)=2.
Como \dim M_{2}(\mathbb{R})=4, pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
\dim \mathrm{N}(T)+\dim \operatorname{Im}(T)=4.
Logo, precisamos de um T cujo núcleo tenha dimensão 2 (e a imagem dimensão 2).
Passo 2
Identifiquemos M_{2}(\mathbb{R}) com \mathbb{R}^4 usando a base canônica \mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}),
onde