Em cada item abaixo, dê exemplo, se possível, de uma transformação linear que satisfaz a condição dada, através de uma matriz associada.
T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) com \operatorname{dim} \mathrm{N}(T)=2.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear \displaystyle T: M_{2}(\mathbb{R}) \to M_{2}(\mathbb{R})
tal que \dim \mathrm{N}(T)=2.
Como \dim M_{2}(\mathbb{R})=4, pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
\dim \mathrm{N}(T)+\dim \operatorname{Im}(T)=4.
Logo, precisamos de um T cujo núcleo tenha dimensão 2 (e a imagem dimensão 2).

Passo 2

Identifiquemos M_{2}(\mathbb{R}) com \mathbb{R}^4 usando a base canônica \mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}),
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Definimos T de modo que envie os dois primeiros vetores da base em si mesmos e anule os dois últimos:
T(E_{11})=E_{11},\quad T(E_{12})=E_{12},\quad T(E_{21})=0,\quad T(E_{22})=0.

Passo 3

A matriz de T na base \mathcal{B}, com as colunas correspondendo a E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}, fica
[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

O núcleo de T é
\mathrm{N}(T) =\{\,xE_{21}+yE_{22}\mid x,y\in\mathbb{R}\},
que tem dimensão 2. A imagem é \operatorname{span}\{E_{11},E_{12}\}, de dimensão 2. Portanto \dim\mathrm{N}(T)=2, conforme desejado.

Resposta

Por exemplo, a transformação
T\!\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b\\\ 0&0\end{pmatrix}
tem \dim \mathrm{N}(T)=2 e é dada, na base \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, pela matriz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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