Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z).

Passo 1

O enunciado dá o operador \displaystyle T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, \displaystyle T(x,y,z)=(3x-4z,\;3y+5z,\;-z).
Precisamos achar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores. Para isso, vamos usar a base canônica e montar a matriz de T.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} temos
T(e_1)=(3,0,0),\quad T(e_2)=(0,3,0),\quad T(e_3)=(-4,5,-1),
logo a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -4\\\\ 0 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é triangular, o polinômio característico é o produto das entradas da diagonal de A-\lambda I. Assim,
\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) =(3-\lambda)\,(3-\lambda)\,(-1-\lambda) =(3-\lambda)^2\,(-1-\lambda).

Passo 4

As raízes de \chi(\lambda)=0 são os autovalores:
\lambda_1=3\quad(\text{multiplicidade }2), \qquad \lambda_2=-1\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 5

Para \lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0:
\begin{pmatrix} 0 & 0 & -4\\\\ 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\;z=0.
Portanto o espaço próprio é \{(x,y,0)\}, gerado por (1,0,0) e (0,1,0).
Para \lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix} 4 & 0 & -4\\\\ 0 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x=z,\quad y=-\tfrac{5}{4}z.
Assim o espaço próprio é gerado por \bigl(1,-\tfrac{5}{4},1\bigr), ou, multiplicando por 4, por (4,-5,4).

Resposta

Polinômio característico:
\chi(\lambda)=(3-\lambda)^2\,(-1-\lambda).
Autovalores:
\lambda=3\\ (\text{mult. }2),\quad \lambda=-1\\ (\text{mult. }1).
Autovetores:
para \lambda=3: todos (x,y,0), base \{(1,0,0),(0,1,0)\};
para \lambda=-1: gerado por (1,-\tfrac{5}{4},1) (por exemplo (4,-5,4)).

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