Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir.
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de um operador em
. Vamos representá-lo pela matriz
na base canônica, obter seu polinômio característico, calcular as raízes (autovalores) e, em seguida, para cada autovalor resolver
para achar os autovetores.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
O polinômio característico é
Passo 3
Para encontrar os autovalores, resolvemos
Usando a fórmula de Bhaskara,
logo
Passo 4
Agora achamos os autovetores associados a cada autovalor:
Para
, resolvemos
Da primeira equação
vem
. Um vetor próprio conveniente é
, e o espaço próprio é
.
Para
, resolvemos
Da primeira equação
vem
. Um vetor próprio conveniente é
, e o espaço próprio é
.]
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
,
.
Autovetores correspondentes:
Autovetores correspondentes: