Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(4 x+5 y, 2 x+y).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (4x+5y,\;2x+y).
O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de um operador em \mathbb{R}^2. Vamos representá-lo pela matriz A na base canônica, obter seu polinômio característico, calcular as raízes (autovalores) e, em seguida, para cada autovalor resolver (A-\lambda I)v=0 para achar os autovetores.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = \begin{pmatrix}4 & 5 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda) = \det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & 5 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) \;-\; 5\cdot2 = \lambda^2 \;-\; 5\lambda \;-\; 6.]

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
p(\lambda)=0 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 - 5\lambda -6 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2},
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\lambda_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad \lambda_2 = \frac{-2}{2} = -1.

Passo 4

Agora achamos os autovetores associados a cada autovalor:
Para \lambda_1 = 6, resolvemos
(A - 6I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4-6 & 5 \\[4pt] 2 & 1-6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 5 \\[4pt] 2 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira equação -2x + 5y = 0 vem y = \tfrac{2}{5}x. Um vetor próprio conveniente é \,(x,y) = (5,2), e o espaço próprio é \mathrm{span}\{(5,2)\}.
Para \lambda_2 = -1, resolvemos
(A + I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4+1 & 5 \\[4pt] 2 & 1+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 5 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = 0.
Da primeira equação 5x + 5y = 0 vem y = -x. Um vetor próprio conveniente é (1,-1), e o espaço próprio é \mathrm{span}\{(1,-1)\}.]

Resposta

Polinômio característico:
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda - 6.
Autovalores: \lambda_1 = 6, \lambda_2 = -1.
Autovetores correspondentes:
\lambda_1 = 6 \;\longrightarrow\; v_1 \in \mathrm{span}\{(5,2)\}, \quad \lambda_2 = -1 \;\longrightarrow\; v_2 \in \mathrm{span}\{(1,-1)\}.

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