Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir.
.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
O objetivo é achar o polinômio característico de
, seus autovalores e, para cada autovalor, o subespaço próprio (autovetores). Vamos usar:
- Representação matricial de
na base canônica. - Cálculo de
para achar os autovalores. - Resolução de
para encontrar os autovetores.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é triangular superior, pois
ou seja
Passo 3
Como
é triangular, o polinômio característico vem do produto dos termos diagonais de
. Temos
e portanto
Passo 4
Os autovalores são as raízes de
. Logo
Passo 5
Para
, resolvemos
.
As equações são
que forçam
e
, deixando
livre. Logo
o subespaço próprio para é
o subespaço próprio para
Passo 6
Para
, resolvemos
.
com equações
Da segunda vem
. Substituindo na primeira:
Tomando
e multiplicando por
para limpar denominadores, um autovetor é
. Assim
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores e seus autovetores:
(a) ,
(b) ,
(a)
(b)