Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(3 x-3 y-4 z, 3 y+5 z,-z).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon\R^3\to\R^3,\quad T(x,y,z)=(3x-3y-4z,\;3y+5z,\;-z).
O objetivo é achar o polinômio característico de T, seus autovalores e, para cada autovalor, o subespaço próprio (autovetores). Vamos usar:
  1. Representação matricial de T na base canônica.
  2. Cálculo de \det(\lambda I - A) para achar os autovalores.
  3. Resolução de (A-\lambda I)v=0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, a matriz de T é triangular superior, pois
T(e_1)=(3,0,0),\quad T(e_2)=(-3,3,0),\quad T(e_3)=(-4,5,-1),
ou seja
A=\begin{pmatrix} 3 & -3 & -4\\\\ 0 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é triangular, o polinômio característico vem do produto dos termos diagonais de \lambda I - A. Temos
\lambda I - A =\begin{pmatrix} \lambda-3 & 3 & 4\\\\ 0 & \lambda-3 & -5\\\\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{pmatrix}
e portanto
\det(\lambda I - A) =(\lambda-3)\cdot(\lambda-3)\cdot(\lambda+1) =(\lambda-3)^2(\lambda+1).

Passo 4

Os autovalores são as raízes de \det(\lambda I - A)=0. Logo
\lambda_1=3 \quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2=-1 \quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 5

Para \lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0.
A-3I =\begin{pmatrix} 0 & -3 & -4\\\\ 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}, \quad v=(x,y,z).
As equações são
-3y-4z=0,\quad 5z=0,\quad -4z=0
que forçam z=0 e y=0, deixando x livre. Logo
o subespaço próprio para \lambda=3 é
E_3=\{(x,0,0)\colon x\in\R\} =\Span\{(1,0,0)\}.

Passo 6

Para \lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0.
A+I =\begin{pmatrix} 4 & -3 & -4\\\\ 0 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad v=(x,y,z),
com equações
4x-3y-4z=0, \quad 4y+5z=0.
Da segunda vem y=-\tfrac54\,z. Substituindo na primeira:
4x=3\bigl(-\tfrac54\,z\bigr)+4z =-\tfrac{15}{4}z+4z =\tfrac{1}{4}z \;\Longrightarrow\; x=\tfrac{1}{16}z.
Tomando z=1 e multiplicando por 16 para limpar denominadores, um autovetor é (1,-20,16). Assim
E_{-1}=\Span\{(1,-20,16)\}.

Resposta

Polinômio característico:
p(\lambda)=(\lambda-3)^2(\lambda+1).
Autovalores e seus autovetores:
(a) \lambda=3, E_3=\Span\{(1,0,0)\}.
(b) \lambda=-1, E_{-1}=\Span\{(1,-20,16)\}.

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