Determine os polos de uma FT cujo denominador é: \mathrm{p}(\mathrm{s})=\mathrm{s}^{4}+3 \mathrm{~s}^{2}+2 \mathrm{~s}+7.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio denominador
\mathrm{p}(\mathrm{s})=\mathrm{s}^{4}+3\mathrm{~s}^{2}+2\mathrm{~s}+7
e pede os polos da transformada, ou seja, os valores de s que anulam \mathrm{p}(\mathrm{s}).
Informações relevantes que temos:
\text{Dado: }\mathrm{p}(\mathrm{s})=\mathrm{s}^{4}+3\mathrm{~s}^{2}+2\mathrm{~s}+7.
\text{Pedido: encontrar todas as raízes (valores de }s\text{ com }\mathrm{p}(s)=0\text{).}í

Passo 2

Tentamos fatorar \mathrm{p}(s)\) como o produto de dois quadráticos com coeficientes reais: \[\mathrm{p}(s)=(s^{2}+a s+b)(s^{2}+c s+d).
Ao expandir e comparar coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} a+c=0,\\[4pt] ac+b+d=3,\\[4pt] ad+bc=2,\\[4pt] bd=7. \end{cases}
Da primeira equação vem c=-a\]. Substituindo \[c=-a nas outras equações reduzimos o sistema a
\begin{cases} -b-d=-a^{2}+3,\\[4pt] a(d-b)=2,\\[4pt] bd=7. \end{cases}
Para simplificar usemos a simetria e escrevamos b\] e \(d em função de a. Somando as expressões obtemos
b+d=3+a^{2}.
Também de a(d-b)=2 vem d-b=\dfrac{2}{a}. Resolvendo esse sistema para b e d obtemos
b=\frac{3+a^{2}}{2}-\frac{1}{a},\qquad d=\frac{3+a^{2}}{2}+\frac{1}{a}.]

Passo 3

Usamos a condição bd=7. Substituindo as fórmulas de b e d em bd=7 temos, após simplificação,
\left(\frac{3+a^{2}}{2}-\frac{1}{a}\right)\left(\frac{3+a^{2}}{2}+\frac{1}{a}\right)=7.
Isso é equivalente a
\frac{(3+a^{2})^{2}}{4}-\frac{1}{a^{2}}=7.
Multiplicando por 4a^{2} e rearranjando obtemos uma equação cúbica em x=a^{2}:
x^{3}+6x^{2}-19x-4=0,\qquad\text{onde }x=a^{2}.

Passo 4

Agora precisamos de uma raiz real não negativa de
x^{3}+6x^{2}-19x-4=0.
Testando valores encontramos troca de sinal entre x=2 (onde o polinômio é negativo) e x=3 (onde é positivo), logo existe uma raiz em (2,3). Para achar essa raiz usamos o método de Newton (uma forma rápida e prática para aproximar raízes):
Regra de Newton: dada f(x), iterações
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
com f(x)=x^{3}+6x^{2}-19x-4 e f'(x)=3x^{2}+12x-19.
Começando com x_{0}=2{,}45 obtemos (resumo das contas)
x\approx 2{,}444\quad\Rightarrow\quad a=\pm\sqrt{x}\approx\pm 1{,}563.
(Escolhemos |a|\approx 1{,}563.)

Passo 5

Com a\approx 1{,}563 calculamos b e d pelas fórmulas do Passo 2:
b=\frac{3+a^{2}}{2}-\frac{1}{a}\approx 2{,}0821,
d=\frac{3+a^{2}}{2}+\frac{1}{a}\approx 3{,}3619.
Verificação rápida: b\cdot d\approx 2{,}0821\cdot 3{,}3619\approx 7 e a(d-b)\approx 2, então os valores estão consistentes.
Portanto
\mathrm{p}(s)\approx (s^{2}+1{,}563\,s+2{,}0821)(s^{2}-1{,}563\,s+3{,}3619).

Passo 6

Agora resolvemos cada quadrática com a fórmula quadrática. Para s^{2}+1{,}563\,s+2{,}0821=0 temos discriminante
\Delta_{1}=a^{2}-4b\approx 1{,}563^{2}-4\cdot 2{,}0821\approx -5{,}8844<0,
logo raízes complexas conjugadas:
s=\frac{-a\pm\sqrt{\Delta_{1}}}{2}=\frac{-1{,}563\pm\mathrm{i}\sqrt{5{,}8844}}{2}\approx -0{,}7815\pm\mathrm{i}\,1{,}2129.
Para s^{2}-1{,}563\,s+3{,}3619=0 temos discriminante
\Delta_{2}=a^{2}-4d\approx 1{,}563^{2}-4\cdot 3{,}3619\approx -11{,}0036<0,
portanto também conjugadas:
s=\frac{a\pm\sqrt{\Delta_{2}}}{2}=\frac{1{,}563\pm\mathrm{i}\sqrt{11{,}0036}}{2}\approx 0{,}7815\pm\mathrm{i}\,1{,}6583.

Resposta

-0{,}7815+\mathrm{i}\,1{,}2129
-0{,}7815-\mathrm{i}\,1{,}2129
0{,}7815+\mathrm{i}\,1{,}6583
0{,}7815-\mathrm{i}\,1{,}6583

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