Determine se o ponto P(7,11,-1) pertence à reta dada pelas equações paramétricas:
\mathrm{r}:\left\{\begin{array}{c} x=1+2 t \\\ y=-3+4 t \\\ z=5-t \end{array}\right.

Passo 1

Temos o ponto P(7,11,-1) e a reta \mathrm{r} dada pelas equações paramétricas
x = 1 + 2t,\quad y = -3 + 4t,\quad z = 5 - t.
O conteúdo aqui é verificar se existe algum valor de t que faz as três coordenadas de \mathrm{r} coincidirem com as de P.

Passo 2

Usamos a coordenada x para encontrar um candidato a t. Da equação
x = 1 + 2t = 7
temos
2t = 6 \quad\Longrightarrow\quad t = 3.

Passo 3

Substituímos t=3 nas outras duas equações paramétricas e comparamos com as coordenadas de P:
Para y:
y = -3 + 4t = -3 + 4\cdot 3 = 9 \neq 11.
Para z:
z = 5 - t = 5 - 3 = 2 \neq -1.
Como nem y nem z coincidem com as coordenadas de P, concluímos que não existe valor de t que satisfaça simultaneamente as três equações.

Resposta

O ponto P(7,11,-1) não pertence à reta \mathrm{r}.

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