Determine o ponto C tal que \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A B}, sendo A=(0,-2) e B=(1,0).
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ponto C tal que \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A B}. As informações dadas são:
A=(0,-2).
B=(1,0).
O que queremos encontrar é as coordenadas de C, que podemos chamar de C=(x_C,y_C).
Passo 2
Vamos lembrar como representar vetores a partir de pontos no plano. Se P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q), então o vetor \overrightarrow{P Q} escrito em coordenadas é
\overrightarrow{P Q}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P).
Isto significa: para obter o vetor entre dois pontos, subtrai-se as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto terminal, componente a componente.
Passo 3
Aplicando essa definição ao vetor \overrightarrow{A B}, com A=(0,-2) e B=(1,0), temos:
\overrightarrow{A B}=(1-0,\;0-(-2))=(1,\;2).
Interpretação: do ponto A para B anda-se 1 unidade na direção x e 2 unidades na direção y.
Passo 4
A equação do problema diz que \overrightarrow{A C}=2\overrightarrow{A B}. Primeiro calculemos 2\overrightarrow{A B} por multiplicação escalar: multiplicar um vetor por um número significa multiplicar cada componente por esse número. Assim,
2\overrightarrow{A B}=2\cdot(1,2)=(2,\;4).
Passo 5
Escrevendo \overrightarrow{A C}\) em termos das coordenadas de \(C=(x_C,y_C)\) e de \(A=(0,-2)\), temos
\[\overrightarrow{A C}=(x_C-0,\;y_C-(-2))=(x_C,\;y_C+2).
Pelo enunciado essa expressão deve ser igual a (2,4). Portanto obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} x_C=2,\\[4pt] y_C+2=4. \end{cases}
Resolvendo a segunda equação: (y_C=4-2=2].]
Passo 6
Concluímos que x_C=2 e y_C=2, ou seja C=(2,2). Vamos fazer uma checagem rápida: o vetor \overrightarrow{A C} vale
\overrightarrow{A C}=(2-0,\;2-(-2))=(2,\;4),
que é justamente 2\overrightarrow{A B}=2(1,2)=(2,4). Tudo confere.