Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
- Os intervalos nos quais a função é crescente;
- Os intervalos nos quais a função é decrescente;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
- Os valores de
nos quais a função tem extremos locais ou globais;
- Os pontos de inflexão;
- Os limites infinitos.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 1
A função dada é f(x)=x{4}-2x{2}. Vamos analisar monotonicidade, concavidade, extremos, inflexões, limites e, por fim, esboçar o gráfico com as tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 2
Derivando, temos
Os pontos críticos são x=-1,0,1. Analisando o sinal de f’: em (-∞,-1), f’<0; em (-1,0), f’>0; em (0,1), f’<0; em (1,∞), f’>0. Logo f é decrescente em (-∞,-1)∪(0,1) e crescente em (-1,0)∪(1,∞).
Passo 3
Para concavidade, calculamos
Zerando, x=±1/√3 são candidatos a inflexão. Em |x|<1/√3, f’’<0 (côncava para baixo); em |x|>1/√3, f’’>0 (côncava para cima).
Passo 4
Classificando extremos: em x=-1, f’ muda de – para + ⇒ mínimo local (e global) f(-1)=-1; em x=0, f’ muda de + para – ⇒ máximo local f(0)=0; em x=1, f’ muda de – para + ⇒ mínimo local (e global) f(1)=-1. Pontos de inflexão em x=±1/√3 com f(±1/√3)=-5/9.
Passo 5
Como f é polinomial de grau 4 com coeficiente líder positivo, lim x→±∞ f(x)=+∞, não há assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 6
O gráfico é simétrico (função par) com formato de “W”. Mínimos globais em (-1,-1) e (1,-1), máximo local em (0,0), inflexões em (±1/√3,-5/9). As retas tangentes nos pontos de inflexão são:
Resposta
Função crescente em
; decrescente em
; côncava para cima em
; côncava para baixo em
; extremos locais e globais: mínimos globais em
e
, máximo local em
; pontos de inflexão em
; limites infinitos:
; gráfico simétrico em forma de “W”, com retas tangentes nos pontos de inflexão dadas por