Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
  • Os intervalos nos quais a função é crescente;
  • Os intervalos nos quais a função é decrescente;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
  • Os valores de x nos quais a função tem extremos locais ou globais;
  • Os pontos de inflexão;
  • Os limites infinitos.
    Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
    f(x)=x^4-2 x^2

Passo 1

A função dada é f(x)=x{4}-2x{2}. Vamos analisar monotonicidade, concavidade, extremos, inflexões, limites e, por fim, esboçar o gráfico com as tangentes nos pontos de inflexão.

Passo 2

Derivando, temos
f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)
Os pontos críticos são x=-1,0,1. Analisando o sinal de f’: em (-∞,-1), f’<0; em (-1,0), f’>0; em (0,1), f’<0; em (1,∞), f’>0. Logo f é decrescente em (-∞,-1)∪(0,1) e crescente em (-1,0)∪(1,∞).

Passo 3

Para concavidade, calculamos
f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1)
Zerando, x=±1/√3 são candidatos a inflexão. Em |x|<1/√3, f’’<0 (côncava para baixo); em |x|>1/√3, f’’>0 (côncava para cima).

Passo 4

Classificando extremos: em x=-1, f’ muda de – para + ⇒ mínimo local (e global) f(-1)=-1; em x=0, f’ muda de + para – ⇒ máximo local f(0)=0; em x=1, f’ muda de – para + ⇒ mínimo local (e global) f(1)=-1. Pontos de inflexão em x=±1/√3 com f(±1/√3)=-5/9.

Passo 5

Como f é polinomial de grau 4 com coeficiente líder positivo, lim x→±∞ f(x)=+∞, não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 6

O gráfico é simétrico (função par) com formato de “W”. Mínimos globais em (-1,-1) e (1,-1), máximo local em (0,0), inflexões em (±1/√3,-5/9). As retas tangentes nos pontos de inflexão são:
y+tfrac59=-tfrac83raiz3l(x+tfrac1raiz3r)
y+tfrac59=tfrac83raiz3l(x-tfrac1raiz3r)

Resposta

Função crescente em (-1,0)cup(1,infty); decrescente em (-1/raiz3,1/raiz3); côncava para cima em (-1,-1); côncava para baixo em (1,-1); extremos locais e globais: mínimos globais em (0,0) e (pm1/raiz3,-5/9), máximo local em limxtopminftyf(x)=+infty; pontos de inflexão em y+tfrac59=-tfrac83raiz3l(x+tfrac1raiz3r) e y+tfrac59=tfrac83raiz3l(x-tfrac1raiz3r); limites infinitos: ; gráfico simétrico em forma de “W”, com retas tangentes nos pontos de inflexão dadas por

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