Determine o ponto na elipse rotacionada
x^2+6 y^2+3 x y=40
com a maior coordenada x.

Passo 1

O enunciado pede o ponto na elipse rotacionada definido por
x^2+6y^2+3xy=40
que tem a maior coordenada x. Estamos lidando com um problema de otimização sujeito a restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função que queremos maximizar como h(x,y)=x e a restrição como g(x,y)=x^2+3xy+6y^2-40=0. Pelo método de Lagrange, devemos ter
nabla h=lambda,nabla g
isto é,
(1,0)=lambda(2x+3y,;3x+12y)

Passo 3

Das componentes do vetor, obtemos o sistema
1=lambda(2x+3y),
0=lambda(3x+12y)
Como lambdaneq0 (caso contrário não satisfaz a primeira equação), da segunda tiramos
3x+12y=0Rightarrow x+4y=0Rightarrow x=-4y

Passo 4

Substituímos x=-4y na restrição:
(-4y)^2+3(-4y)y+6y^2=40
16y^2-12y^2+6y^2=40Rightarrow10y^2=40Rightarrow y^2=4Rightarrow y=pm2
Dessa forma x=-4y dá os dois candidatos: para y=2, x=-8; para y=-2, x=8.

Passo 5

Comparamos os valores de x e vemos que o maior é x=8, correspondente a y=-2. Portanto o ponto buscado é (8,-2).

Resposta

(8,-2)

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