Resolva a seguinte equação diferencial com transformada de Laplace:
y^prime prime(t)+4 y(t)=f(t),
onde as condições iniciais são y(0)=0 e y^prime(0)=1, f(t)=0, t in[0,1], f(t)=t, t in[1, infty).

Passo 1

A equação dada é y''(t)+4y(t)=f(t) com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1 e força f(t)=0 para 0<= t<1, f(t)=t para t>=1. Vamos usar transformada de Laplace e propriedades de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados e usando Y(s)= Ly(t):
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1
Logo
s^2Y(s)-1+4Y(s)=F(s)Longrightarrow Y(s)=1+F(s)s^2+4,
onde F(s)= Lf(t).

Passo 3

Calculamos F(s)=integral1^infty t,e^-st,dt. Integração por partes dá
F(s)=e^-ss+1s^2

Passo 4

Substituindo em Y(s):
Y(s)=1s^2+4+e^-ss^2+4cdots+1s^2
Para inverter, escrevemos
s+1s^2(s^2+4)=As+Bs^2+Cs+Ds^2+4
Encontramos
A=B=tfrac14, C=D=-tfrac14

Passo 5

Fazendo a transformada inversa de cada termo:
L^-1[1/(s^2+4)]=tfrac12sin(2t)
– Pelo teorema do deslocamento
L^-1e^-sG(s)=g(t-1)u(t-1),
onde
g(t)=tfrac14+tfrac t4-tfrac14cos(2t)-tfrac18sin(2t)
Logo a parte forçada é g(t-1)u(t-1).

Passo 6

Juntando, a solução geral é
y(t)=12sin(2t)+u(t-1)l(t4-14cos2(t-1)-18sin2(t-1)r)

Resposta

y(t)=12sin(2t)+u(t-1)l(t4-14cosl(2(t-1)r)-18sinl(2(t-1)r)r)

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