Resolva a seguinte equação diferencial com transformada de Laplace:
onde as condições iniciais são
e
.
Passo 1
A equação dada é
com condições iniciais
,
e força
para
,
para
. Vamos usar transformada de Laplace e propriedades de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicando Laplace em ambos os lados e usando
:
Logo
onde
.
Passo 3
Calculamos
. Integração por partes dá
Passo 4
Substituindo em
:
Para inverter, escrevemos
Encontramos
Passo 5
Fazendo a transformada inversa de cada termo:
–
– Pelo teorema do deslocamento
–
– Pelo teorema do deslocamento
onde
Logo a parte forçada é
.
Passo 6
Juntando, a solução geral é