Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais: y(0)=0,7 ; doty(0)=0 ; ddoty(0)=0 para a equação diferencial d^3 yd t^3+5 d^2 yd t^2+7 d yd t+3 y=4 d xd t-6 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para determinar o ponto de equilíbrio quando a entrada é nula para uma determinada equação diferencial com condições iniciais específicas. Isso envolve conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e pontos de equilíbrio no contexto de sistemas dinâmicos. Para resolver, vamos precisar entender o que é ponto de equilíbrio e como aplicá-lo à equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de equilíbrio. Em sistemas dinâmicos, um ponto de equilíbrio é um valor de onde todas as derivadas da função são iguais a zero. Isso significa que, se o sistema atingir esse ponto, ele permanecerá estável sem mudanças ao longo do tempo, contanto que não haja entrada externa.

Passo 3

A equação diferencial fornecida é:
d^3 yd t^3 + 5 d^2 yd t^2 + 7 d yd t + 3 y = 4 d xd t - 6 x
Como a entrada é nula ( d^3 yd t^3 + 5 d^2 yd t^2 + 7 d yd t + 3 y = 0 ), podemos simplificar a equação substituindo por zero:

Passo 4

Para encontrar o ponto de equilíbrio, assumimos que todas as derivadas de d^3 yd t^3 = 0, d^2 yd t^2 = 0, d yd t = 0 são zero. Portanto:
0 + 0 + 0 + 3 y = 0
Substituindo essas igualdades na equação simplificada:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação resultante para 3 y = 0 Rightarrow y = 0 :
Isso significa que o ponto de equilíbrio é .

Resposta

O ponto de equilíbrio para entrada nula é .

Exercícios relacionados