Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais:
para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para determinar o ponto de equilíbrio quando a entrada é nula para uma determinada equação diferencial com condições iniciais específicas. Isso envolve conceitos de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e pontos de equilíbrio no contexto de sistemas dinâmicos. Para resolver, vamos precisar entender o que é ponto de equilíbrio e como aplicá-lo à equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de equilíbrio. Em sistemas dinâmicos, um ponto de equilíbrio é um valor de
onde todas as derivadas da função são iguais a zero. Isso significa que, se o sistema atingir esse ponto, ele permanecerá estável sem mudanças ao longo do tempo, contanto que não haja entrada externa.
Passo 3
A equação diferencial fornecida é:
Como a entrada é nula (
), podemos simplificar a equação substituindo
por zero:
Passo 4
Para encontrar o ponto de equilíbrio, assumimos que todas as derivadas de
são zero. Portanto:
Substituindo essas igualdades na equação simplificada:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação resultante para
:
Isso significa que o ponto de equilíbrio é
.
Resposta
O ponto de equilíbrio para entrada nula é
.