Calcule a transformada de Laplace usando tabela e propriedades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar uma tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformação. Vamos dar um passo de cada vez para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a função cosseno. A transformada de
é dada por:
Mas nossa função tem um deslocamento de fase, ou seja,
. Para lidar com isso, vamos usar a identidade trigonométrica que expressa o cosseno de uma diferença:
Aplicando isso na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão na função original:
Podemos distribuir o 4 dentro dos colchetes:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando da linearidade da transformada de Laplace, temos:
Usando as fórmulas das transformadas de Laplace para cosseno e seno:
Passo 5
Substituindo
naquelas fórmulas, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir essas transformadas na expressão anterior:
Podemos fatorar o denominador comum:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: