Calcule a transformada de Laplace usando tabela e propriedades.
f(t)=4 cos (3,5 t-0,9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar uma tabela de transformadas de Laplace e algumas propriedades básicas dessa transformação. Vamos dar um passo de cada vez para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a função cosseno. A transformada de Lcos(a t) = ss^2 + a^2 é dada por:
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
Mas nossa função tem um deslocamento de fase, ou seja, cos(3,5, t - 0,9) = cos(3,5, t) cos(0,9) + sin(3,5, t) sin(0,9) . Para lidar com isso, vamos usar a identidade trigonométrica que expressa o cosseno de uma diferença:
Aplicando isso na nossa função:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na função original:
f(t) = 4 cos(3,5, t - 0,9) = 4 [ cos(3,5, t) cos(0,9) + sin(3,5, t) sin(0,9) ]
Podemos distribuir o 4 dentro dos colchetes:
f(t) = 4 cos(0,9) cos(3,5, t) + 4 sin(0,9) sin(3,5, t)

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando da linearidade da transformada de Laplace, temos:
Lf(t) = 4 cos(0,9) Lcos(3,5, t) + 4 sin(0,9) Lsin(3,5, t)
Usando as fórmulas das transformadas de Laplace para cosseno e seno:
Lcos(a t) = ss^2 + a^2 e Lsin(a t) = as^2 + a^2

Passo 5

Substituindo Lcos(3,5, t) = ss^2 + (3,5)^2 = ss^2 + 12,25 naquelas fórmulas, temos:
Lsin(3,5, t) = 3,5s^2 + 12,25

Passo 6

Agora, vamos substituir essas transformadas na expressão anterior:
Lf(t) = 4 cos(0,9) ( ss^2 + 12,25 ) + 4 sin(0,9) ( 3,5s^2 + 12,25 )
Podemos fatorar o denominador comum:
Lf(t) = 4 cos(0,9) , s + 14 sin(0,9)s^2 + 12,25

Resposta

A transformada de Laplace da função Lf(t) = 4 cos(0,9) , s + 14 sin(0,9)s^2 + 12,25 é:

Exercícios relacionados