Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais: y(0)=0,7 ; doty(0)=0 ; ddoty(0)=0 para a equação diferencial d^3 yd t^3+d^2 yd t^2+2 d yd t=8 d^2 xd t^2-d xd t+2,2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto de equilíbrio para entrada nula da equação diferencial dada, com as condições iniciais fornecidas: , e . Isso tudo está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares. Vamos usar um pouco de cálculo e teoria de sistemas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ponto de equilíbrio para entrada nula. Basicamente, é o valor que a variável vai assumir quando não há nenhuma entrada no sistema, ou seja, quando . Nesse caso, queremos que todas as derivadas de também sejam zero, já que o sistema está estático.

Passo 3

A equação diferencial que temos é:
d^3 yd t^3 + d^2 yd t^2 + 2 d yd t = 8 d^2 xd t^2 - d xd t + 2,2 x
Como a entrada é nula, ou seja, d^3 yd t^3 + d^2 yd t^2 + 2 d yd t = 8 cdot 0 - 0 + 2,2 cdot 0 . Vamos substituir d^3 yd t^3 + d^2 yd t^2 + 2 d yd t = 0 na equação:
Simplificando:

Passo 4

No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de d^3 yd t^3 = 0, d^2 yd t^2 = 0, d yd t = 0 são zero. Ou seja:
0 + 0 + 2 cdot 0 = 0
Substituindo essas igualdades na equação:
O que confirma que a condição de equilíbrio está satisfeita.

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de 0 = 0 no ponto de equilíbrio, vamos considerar que todas as derivadas são zero e que o sistema está estático. Assim, a equação diferencial simplifica para:
Isso não nos dá diretamente o valor de , mas como temos uma condição inicial e as derivadas iniciais são zero, isso indica que o sistema já está no ponto de equilíbrio no instante inicial.

Resposta

O ponto de equilíbrio para entrada nula é .

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