Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais:
para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto de equilíbrio para entrada nula da equação diferencial dada, com as condições iniciais fornecidas:
,
e
. Isso tudo está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares. Vamos usar um pouco de cálculo e teoria de sistemas para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ponto de equilíbrio para entrada nula. Basicamente, é o valor que a variável
vai assumir quando não há nenhuma entrada no sistema, ou seja, quando
. Nesse caso, queremos que todas as derivadas de
também sejam zero, já que o sistema está estático.
Passo 3
A equação diferencial que temos é:
Como a entrada é nula, ou seja,
. Vamos substituir
na equação:
Simplificando:
Passo 4
No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de
são zero. Ou seja:
Substituindo essas igualdades na equação:
O que confirma que a condição de equilíbrio está satisfeita.
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
no ponto de equilíbrio, vamos considerar que todas as derivadas são zero e que o sistema está estático. Assim, a equação diferencial simplifica para:
Isso não nos dá diretamente o valor de
, mas como temos uma condição inicial
e as derivadas iniciais são zero, isso indica que o sistema já está no ponto de equilíbrio no instante inicial.
Resposta
O ponto de equilíbrio para entrada nula é
.