determine a resposta total quando a entrada é um impulso unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais de terceira ordem que relaciona a saída com a entrada . O enunciado nos dá a equação:
Além disso, temos as condições iniciais:
E a entrada é um impulso unitário, que é representado pela função delta de Dirac . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse sistema, porque ela facilita lidar com impulsos e equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace converte derivadas no domínio do tempo para funções algébricas no domínio de . As regras básicas que vamos usar são:
E para a função delta:
Como a entrada é um impulso unitário, podemos considerar . Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Substituindo pelas transformadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir as condições iniciais , e , e lembrar que tem .
Simplificando:
Ou seja:
Passo 5
Agora, isolamos :
Podemos fatorar o denominador:
Então,
Passo 6
Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Vamos separar a fração em partes mais simples:
Vamos encontrar os valores de , e .
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
19,84 A = -1 implies A = -119,84 approx -0,0506
Da primeira equação:
B = -A approx 0,0506
Da segunda equação:
9,5 A + C = 3 implies C = 3 - 9,5 A approx 3 - 9,5 (-0,0506) approx 3 + 0,4807 approx 3,4807
Então,
A approx -0,0506; B approx 0,0506; C approx 3,4807
Passo 9
Agora, substituímos esses valores de volta na expressão de Y(s) approx -0,0506s + 0,0506 s + 3,4807s^2 + 9,5 s + 19,84 :