Para o sistema d^3 yd t^3+9,5 d^2 yd t^2+19,84 d yd t=3 d xd t-x;
y(0)=0 ; doty(0)=0 ; ddoty(0)=0
determine a resposta total quando a entrada é um impulso unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais de terceira ordem que relaciona a saída d^3 ydt^3 + 9,5 d^2 ydt^2 + 19,84 d ydt = 3 dxdt - x com a entrada y(0) = 0 ; doty(0) = 0 ; ddoty(0) = 0 . O enunciado nos dá a equação:
Além disso, temos as condições iniciais:
E a entrada é um impulso unitário, que é representado pela função delta de Dirac . Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse sistema, porque ela facilita lidar com impulsos e equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace converte derivadas no domínio do tempo para funções algébricas no domínio de L d^n ydt^n = s^n Y(s) - s^n-1 y(0) - dots - doty(0) . As regras básicas que vamos usar são:
L de
E para a função delta:
Como a entrada é um impulso unitário, podemos considerar . Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
L d^3 ydt^3 + 9,5 L d^2 ydt^2 + 19,84 L d ydt = 3 L dxdt - L x
Substituindo pelas transformadas:
s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s doty(0) - ddoty(0) + 9,5 ( s^2 Y(s) - s y(0) - doty(0) ) + 19,84 ( s Y(s) - y(0) ) = 3 ( s X(s) - x(0) ) - X(s)

Passo 4

Agora, vamos substituir as condições iniciais s^3 Y(s) + 9,5 s^2 Y(s) + 19,84 s Y(s) = 3 ( s cdot 1 - 0 ) - 1 , ( s^3 + 9,5 s^2 + 19,84 s ) Y(s) = 3s - 1 e , e lembrar que tem .
Simplificando:
Ou seja:

Passo 5

Agora, isolamos Y(s) = 3s - 1s^3 + 9,5 s^2 + 19,84 s :
s^3 + 9,5 s^2 + 19,84 s = s (s^2 + 9,5 s + 19,84)
Podemos fatorar o denominador:
Y(s) = 3s - 1s (s^2 + 9,5 s + 19,84)
Então,

Passo 6

Para encontrar Y(s) = 3s - 1s (s^2 + 9,5 s + 19,84) = As + Bs + Cs^2 + 9,5 s + 19,84 , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Vamos separar a fração em partes mais simples:
Vamos encontrar os valores de , e .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 3s - 1 = A (s^2 + 9,5 s + 19,84) + s (Bs + C) :
3s - 1 = A s^2 + 9,5 A s + 19,84 A + B s^2 + C s
Expandindo:
3s - 1 = (A + B) s^2 + (9,5 A + C) s + 19,84 A
Agrupando os termos:
A + B = 0 9,5 A + C = 3 19,84 A = -1
Agora, igualamos os coeficientes:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Primeiro, da terceira equação:
19,84 A = -1 implies A = -119,84 approx -0,0506
Da primeira equação:
B = -A approx 0,0506
Da segunda equação:
9,5 A + C = 3 implies C = 3 - 9,5 A approx 3 - 9,5 (-0,0506) approx 3 + 0,4807 approx 3,4807
Então,
A approx -0,0506; B approx 0,0506; C approx 3,4807

Passo 9

Agora, substituímos esses valores de volta na expressão de Y(s) approx -0,0506s + 0,0506 s + 3,4807s^2 + 9,5 s + 19,84 :
Y(s) approx -0,0506 cdot 1s + 0,0506 cdot ss^2 + 9,5 s + 19,84 + 3,4807 cdot 1s^2 + 9,5 s + 19,84
Vamos separar as frações:

Passo 10

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para cada termo:
  1. s^2 + 9,5 s + 19,84 = ( s + 9,52 )^2 - ( 9,52 )^2 + 19,84 se transforma em ( 9,52 )^2 = 22,5625; 19,84 + (-22,5625) = -2,7225 , já que s^2 + 9,5 s + 19,84 = ( s + 4,75 )^2 + ( raiz2,7225 )^2 = ( s + 4,75 )^2 + 1,65^2 .
  2. Para , reconhecemos que é da forma , cuja inversa é .
  3. Para , é semelhante a , cuja inversa é .
Primeiro, completamos o quadrado no denominador :
Calculando:
Então,

Passo 11

Agora, aplicando as transformadas inversas:

Passo 12

Juntando tudo, a resposta total y(t) approx -0,0506 + 0,0506 , e^-4,75 t cos(1,65 t) + 2,108 , e^-4,75 t sin(1,65 t) é:

Resposta

A resposta total do sistema para a entrada de um impulso unitário é aproximadamente
y(t) approx -0,0506 + 0,0506 , e^-4,75 t cos(1,65 t) + 2,108 , e^-4,75 t sin(1,65 t)

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