Determine o(s) ponto(s) mais próximos(s) da origem e cujas coordenadas estão sujeitas às restrições
e
.
Passo 1
O problema pede: encontrar o(s) ponto(s) do espaço mais próximo(s) da origem que satisfazem simultaneamente as restrições
e
.
Informações dadas:
(uma superfície elipsoidal),
(um plano),
objetivo: minimizar a distância da origem ao ponto sujeito às duas restrições.
objetivo: minimizar a distância da origem ao ponto
Passo 2
Para facilitar, em vez de minimizar a distância
eu vou minimizar o quadrado da distância, que é
Minimizar
e minimizar
dão o mesmo ponto porque a raiz é monotônica positiva. Trabalhar com
evita raízes e simplifica cálculos.
As restrições escrevo como
Passo 3
Vou usar multiplicadores de Lagrange (uma ferramenta para otimização com restrições): existem
e
tais que
junto com as duas restrições. Calculo os gradientes:
Então o sistema de Lagrange é
com
Passo 4
Reescrevo as três equações do sistema isolando
:
Dessas igualdades tiramos relações úteis:
- Das primeiras e terceira:
. Se então . Se tratarei separadamente. - Das primeira e segunda:
, ou seja
Portanto devo analisar casos.
Passo 5
Caso A:
. Então
.
A.1) Subcaso
.
Da restrição linear vem
. Verifico a restrição elipsoidal:
fica
, ok. Então um ponto candidato é
Da restrição linear
Para este ponto, das equações de Lagrange
e a igualdade
dá
, consistente com
. Portanto
é um candidato crítico.
A.2) Subcaso
. Defino
. A relação
torna-se
Usando
e
nas restrições:
da reta obtemos
, ou seja
da reta
Da elipsoide
com
dá
Igualando a expressão de
das duas equações:
Resolvo essa equação para
. Multiplico:
Subtraindo os termos:
de onde
Com
encontro
Então
e como
temos
. Verifico as restrições (checagem rápida):
portanto o ponto
é outro candidato.
Passo 6
Caso B:
, ou seja
. Das equações de Lagrange:
portanto
e
. Das restrições:
substituo
:
Resolvo a quadrática:
Então os dois pontos candidatos são
Note que ambos satisfazem as restrições.
Passo 7
Agora comparo as distâncias ao quadrado
nos candidatos para identificar o(s) ponto(s) mais próximos.
- Para
:
- Para
:
- Para os pontos com
(caso ), da própria restrição elipsoidal com temos
Comparando os valores de
:
. Logo o menor valor de
é
, atingido em
. Portanto o ponto mais próximo da origem, entre os que satisfazem as duas restrições, é
.