Determine o(s) ponto(s) mais próximos(s) da origem e cujas coordenadas estão sujeitas às restrições x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=4 e x+y+z=1.

Passo 1

O problema pede: encontrar o(s) ponto(s) do espaço mais próximo(s) da origem que satisfazem simultaneamente as restrições \;x^{2}+4y^{2}+z^{2}=4\; e \;x+y+z=1\;.
Informações dadas:
\;x^{2}+4y^{2}+z^{2}=4\; (uma superfície elipsoidal),
\;x+y+z=1\; (um plano),
objetivo: minimizar a distância da origem ao ponto (x,y,z) sujeito às duas restrições.

Passo 2

Para facilitar, em vez de minimizar a distância \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} eu vou minimizar o quadrado da distância, que é
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Minimizar f e minimizar \sqrt{f} dão o mesmo ponto porque a raiz é monotônica positiva. Trabalhar com f evita raízes e simplifica cálculos.
As restrições escrevo como
g_{1}(x,y,z)=x^{2}+4y^{2}+z^{2}-4=0,
g_{2}(x,y,z)=x+y+z-1=0.

Passo 3

Vou usar multiplicadores de Lagrange (uma ferramenta para otimização com restrições): existem \lambda e \mu tais que
\nabla f=\lambda \nabla g_{1}+\mu \nabla g_{2},
junto com as duas restrições. Calculo os gradientes:
\nabla f=(2x,\,2y,\,2z),
\nabla g_{1}=(2x,\,8y,\,2z),
\nabla g_{2}=(1,\,1,\,1).
Então o sistema de Lagrange é
2x=\lambda\cdot 2x+\mu,
2y=\lambda\cdot 8y+\mu,
2z=\lambda\cdot 2z+\mu,
com
x^{2}+4y^{2}+z^{2}=4,\qquad x+y+z=1.

Passo 4

Reescrevo as três equações do sistema isolando \mu:
\mu=2x(1-\lambda),
\mu=2y(1-4\lambda),
\mu=2z(1-\lambda).
Dessas igualdades tiramos relações úteis:
  • Das primeiras e terceira: 2x(1-\lambda)=2z(1-\lambda). Se 1-\lambda\neq0 então x=z. Se 1-\lambda=0 tratarei separadamente.
  • Das primeira e segunda: 2x(1-\lambda)=2y(1-4\lambda), ou seja
x(1-\lambda)=y(1-4\lambda).
Portanto devo analisar casos.

Passo 5

Caso A: 1-\lambda\neq0. Então x=z.
A.1) Subcaso x=z=0.
Da restrição linear x+y+z=1 vem y=1. Verifico a restrição elipsoidal: x^{2}+4y^{2}+z^{2}=4 fica 4\cdot1^{2}=4, ok. Então um ponto candidato é
(0,1,0).
Para este ponto, das equações de Lagrange \mu=0 e a igualdade \mu=2y(1-4\lambda) \lambda=1/4, consistente com 1-\lambda\neq0. Portanto (0,1,0) é um candidato crítico.
A.2) Subcaso x=z\neq0. Defino k=\dfrac{y}{x}. A relação x(1-\lambda)=y(1-4\lambda) torna-se
1-\lambda = k(1-4\lambda)\quad\Rightarrow\quad k=\frac{1-\lambda}{1-4\lambda}.
Usando x=z e y=kx nas restrições:
da reta x+y+z=1 obtemos 2x+kx=1, ou seja
x=\frac{1}{2+k}.
Da elipsoide x^{2}+4y^{2}+z^{2}=4 com z=x
2x^{2}+4(kx)^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}(1+2k^{2})=2.
Igualando a expressão de x das duas equações:
\left(\frac{1}{2+k}\right)^{2}=\frac{2}{1+2k^{2}}.
Resolvo essa equação para k. Multiplico:
1+2k^{2}=2(2+k)^{2}=2(4+4k+k^{2})=8+8k+2k^{2}.
Subtraindo os termos:
1+2k^{2}-8-8k-2k^{2}=0\quad\Rightarrow\quad -7-8k=0,
de onde
k=-\frac{7}{8}.
Com k=-\dfrac{7}{8} encontro
x=\frac{1}{2+k}=\frac{1}{2-\tfrac{7}{8}}=\frac{1}{\tfrac{9}{8}}=\frac{8}{9}.
Então
y=kx=-\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{9}=-\frac{7}{9},
e como z=x temos z=\dfrac{8}{9}. Verifico as restrições (checagem rápida):
x+y+z=\frac{8}{9}-\frac{7}{9}+\frac{8}{9}=1,
x^{2}+4y^{2}+z^{2}=\frac{64}{81}+4\cdot\frac{49}{81}+\frac{64}{81}=\frac{64+196+64}{81}=\frac{324}{81}=4,
portanto o ponto
\left(\frac{8}{9},-\frac{7}{9},\frac{8}{9}\right)
é outro candidato.

Passo 6

Caso B: 1-\lambda=0, ou seja \lambda=1. Das equações de Lagrange:
2x=2x+\mu\quad\Rightarrow\quad \mu=0,
2y=8y+\mu\quad\Rightarrow\quad 2y=8y\quad\Rightarrow\quad 6y=0\Rightarrow y=0,
2z=2z+\mu\quad\Rightarrow\quad \mu=0,
portanto y=0 e \mu=0. Das restrições:
x+0+z=1\quad\Rightarrow\quad z=1-x,
x^{2}+z^{2}=4\quad(\text{porque }y=0),
substituo z=1-x:
x^{2}+(1-x)^{2}=4\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-2x+1-4=0,
2x^{2}-2x-3=0.
Resolvo a quadrática:
x=\frac{2\pm\sqrt{4+24}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}.
Então os dois pontos candidatos são
\left(\frac{1+\sqrt{7}}{2},\,0,\,\frac{1-\sqrt{7}}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{1-\sqrt{7}}{2},\,0,\,\frac{1+\sqrt{7}}{2}\right).
Note que ambos satisfazem as restrições.

Passo 7

Agora comparo as distâncias ao quadrado f=x^{2}+y^{2}+z^{2} nos candidatos para identificar o(s) ponto(s) mais próximos.
  • Para (0,1,0):
f=0^{2}+1^{2}+0^{2}=1.
  • Para \left(\dfrac{8}{9},-\dfrac{7}{9},\dfrac{8}{9}\right):
f=\frac{64}{81}+\frac{49}{81}+\frac{64}{81}=\frac{177}{81}=\frac{59}{27}\approx 2{,}185.
  • Para os pontos com y=0 (caso \lambda=1), da própria restrição elipsoidal com y=0 temos
x^{2}+z^{2}=4\quad\Rightarrow\quad f=4.
Comparando os valores de f: 1 < \dfrac{59}{27} < 4. Logo o menor valor de f é 1, atingido em (0,1,0). Portanto o ponto mais próximo da origem, entre os que satisfazem as duas restrições, é (0,1,0).

Resposta

(0,1,0)

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