Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma
e
.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O problema pede que a gente determine a solução
da equação da onda
no domínio
, com as condições iniciais
Informações dadas:
(PDE),
e
.
O que se pede: encontrar explicitamente para todo
e
.
O que se pede: encontrar explicitamente
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): na reta inteira a solução clássica da equação da onda com velocidade
é dada pela fórmula de d’Alembert. Vou mostrar como chegamos a essa fórmula de forma curta e didática, pois é a ferramenta que usamos aqui.
Considere funções
e
tais que
Por que essa forma? Porque derivando obtemos
logo
é satisfeita automaticamente. Agora impondo as condições iniciais em
:
onde eu chamei
e
. Temos um sistema para
e
. Somando e subtraindo essas igualdades é possível resolver para
e
. Integrando a segunda equação (ou manipulando) obtemos a forma conhecida:
Passo 3
Apresento a fórmula de d’Alembert (resultado da etapa anterior):
onde
e
. Explicando cada termo:
- A média
propaga a condição inicial de deslocamento; - A integral
incorpora o efeito da velocidade inicial na região de influência (entre as características ).
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao nosso problema. Identificamos
Substituindo:
Passo 5
Calculamos a integral
. Integramos passo a passo:
Portanto
Agora usamos a identidade trigonométrica
Com
e
temos
e
. Logo
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando para
e substituindo a integral obtida:
Simplificando fatores:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (para ficar confiante): em
temos
ok. Para
, a derivada da última parcela
em
dá
, e as derivadas dos termos com
cancelam em
, então
. Tudo bate.