Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -\infty<x<\infty e t>0.
\left{ \begin{array}{l}u_{t t}=u_{x x} \\u(x, 0)=\frac{10}{1+2 x^{2}} \\u_{t}(x, 0)=\sin (3 x)\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede que a gente determine a solução u(x,t) da equação da onda
u_{t t}=u_{x x},
no domínio -\infty<x<\infty,\; t>0, com as condições iniciais
u(x,0)=\frac{10}{1+2x^{2}}, \qquad u_{t}(x,0)=\sin(3x).
Informações dadas:
\;u_{t t}=u_{x x} (PDE), \;u(x,0)=\dfrac{10}{1+2x^{2}} e \;u_{t}(x,0)=\sin(3x).
O que se pede: encontrar explicitamente u(x,t) para todo x\in\mathbb{R} e t>0.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): na reta inteira a solução clássica da equação da onda com velocidade 1 é dada pela fórmula de d’Alembert. Vou mostrar como chegamos a essa fórmula de forma curta e didática, pois é a ferramenta que usamos aqui.
Considere funções F e G tais que
u(x,t)=F(x-t)+G(x+t).
Por que essa forma? Porque derivando obtemos
u_{t t}=F''(x-t)+G''(x+t),\qquad u_{x x}=F''(x-t)+G''(x+t),
logo u_{t t}=u_{x x} é satisfeita automaticamente. Agora impondo as condições iniciais em t=0:
u(x,0)=F(x)+G(x)=f(x), \qquad u_{t}(x,0)=-F'(x)+G'(x)=g(x),
onde eu chamei f(x)=u(x,0) e g(x)=u_t(x,0). Temos um sistema para F e G. Somando e subtraindo essas igualdades é possível resolver para F e G. Integrando a segunda equação (ou manipulando) obtemos a forma conhecida:

Passo 3

Apresento a fórmula de d’Alembert (resultado da etapa anterior):
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr)+\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t} g(s)\,ds,
onde f(x)=u(x,0) e g(x)=u_t(x,0). Explicando cada termo:
  • A média \tfrac{1}{2}(f(x+t)+f(x-t)) propaga a condição inicial de deslocamento;
  • A integral \tfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} g(s)\,ds incorpora o efeito da velocidade inicial g na região de influência (entre as características x\pm t).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao nosso problema. Identificamos
f(x)=\frac{10}{1+2x^{2}},\qquad g(x)=\sin(3x).
Substituindo:
u(x,t)=\frac{1}{2}\left(\frac{10}{1+2(x+t)^{2}}+\frac{10}{1+2(x-t)^{2}}\right) +\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t}\sin(3s)\,ds.

Passo 5

Calculamos a integral \displaystyle\int_{x-t}^{x+t}\sin(3s)\,ds. Integramos passo a passo:
\int \sin(3s)\,ds = -\frac{1}{3}\cos(3s)+C.
Portanto
\int_{x-t}^{x+t}\sin(3s)\,ds =-\frac{1}{3}\bigl(\cos(3(x+t))-\cos(3(x-t))\bigr).
Agora usamos a identidade trigonométrica
\cos A-\cos B = -2\sin\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\sin\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Com A=3(x+t) e B=3(x-t) temos \dfrac{A+B}{2}=3x e \dfrac{A-B}{2}=3t. Logo
\cos(3(x+t))-\cos(3(x-t)) = -2\sin(3x)\sin(3t).
Substituindo na integral:
\int_{x-t}^{x+t}\sin(3s)\,ds = -\frac{1}{3}\bigl(-2\sin(3x)\sin(3t)\bigr)=\frac{2}{3}\sin(3x)\sin(3t).

Passo 6

Voltando para u(x,t) e substituindo a integral obtida:
u(x,t)=\frac{1}{2}\left(\frac{10}{1+2(x+t)^{2}}+\frac{10}{1+2(x-t)^{2}}\right) +\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\sin(3x)\sin(3t).
Simplificando fatores:
u(x,t)=5\left(\frac{1}{1+2(x+t)^{2}}+\frac{1}{1+2(x-t)^{2}}\right)+\frac{1}{3}\sin(3x)\sin(3t).

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (para ficar confiante): em t=0 temos
u(x,0)=5\Bigl(\frac{1}{1+2x^{2}}+\frac{1}{1+2x^{2}}\Bigr)+\frac{1}{3}\sin(3x)\cdot 0 =\frac{10}{1+2x^{2}}=f(x),
ok. Para u_t, a derivada da última parcela \tfrac{1}{3}\sin(3x)\sin(3t) em t=0 \tfrac{1}{3}\sin(3x)\cdot 3\cos(0)=\sin(3x), e as derivadas dos termos com f cancelam em t=0, então u_t(x,0)=\sin(3x)=g(x). Tudo bate.

Resposta

u(x,t)=5\left(\frac{1}{1+2(x+t)^{2}}+\frac{1}{1+2(x-t)^{2}}\right)+\frac{1}{3}\sin(3x)\sin(3t).

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