A função
sujeita à restrição
assume um valor mínimo absoluto. Sabendo disso, determine o ponto onde o mínimo é assumido.
Passo 1
O enunciado dá a função
com a restrição
O que se pede: determinar o(s) ponto(s) do domínio (isto é, quais vetores
satisfazendo as restrições) nos quais
assume seu valor mínimo absoluto.
Passo 2
Vamos estudar o sinal de cada termo da soma. Para
temos
, portanto
Também é preciso tratar o caso
, pois
não é definido; contudo o limite relevante é
Uma maneira rápida de ver isso é usar
e a conhecida propriedade
(por exemplo, faça a substituição
com
e veja que
). Logo o termo pode ser naturalmente estendido por continuidade em
com valor
.
Portanto, para todo
vale
com igualdade exatamente quando
ou
.
Passo 3
Como cada parcela da soma é não negativa, a soma inteira é não negativa:
Assim o menor valor possível de
é pelo menos
. Agora procuremos vetores que atingem
. Se escolhermos um vetor com uma coordenada igual a
e todas as outras
, por exemplo
, obtemos
Portanto o valor
é atingido por esses vetores.
Passo 4
Mostremos que não existem outros pontos que atinjam
. Se
, sendo a soma de termos não negativos, cada termo deve ser zero:
Como visto no Passo 2, para
essa igualdade só ocorre quando
ou
. Mas a soma das coordenadas deve ser
; portanto exatamente uma coordenada vale
e as demais valem
. Concluímos que os únicos pontos que dão
são os vetores padrões (vértices do simplex):
Passo 5
Como bônus didático: se quisermos ver o comportamento no interior do simplex (todas as
), podemos usar multiplicadores de Lagrange. Calculando a derivada de uma parcela
e impondo a condição
obtemos
, que é o ponto uniforme. Além disso a segunda derivada de cada parcela é
ou seja cada parcela é côncava e
é soma de funções côncavas, logo
é côncava no interior; portanto o ponto
é um máximo (não um mínimo). Isso confirma que o mínimo não está no interior, mas nos vértices já identificados.
Resposta
Valor mínimo: