A função E\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=-\sum_{k=1}^{n} x_{k} \log _{2}\left(x_{k}\right) sujeita à restrição
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1, \quad x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, \ldots, x_{n} \geq 0
assume um valor mínimo absoluto. Sabendo disso, determine o ponto onde o mínimo é assumido.

Passo 1

O enunciado dá a função
E(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) = -\sum_{k=1}^{n} x_{k}\log_{2}(x_{k})
com a restrição
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1,\qquad x_{k}\ge 0\\ \text{para todo }k.
O que se pede: determinar o(s) ponto(s) do domínio (isto é, quais vetores (x_{1},\dots,x_{n}) satisfazendo as restrições) nos quais E assume seu valor mínimo absoluto.

Passo 2

Vamos estudar o sinal de cada termo da soma. Para x\in(0,1] temos \log_{2}(x)\le 0, portanto
-x\log_{2}(x)\ge 0.
Também é preciso tratar o caso x=0, pois \log_{2}(0) não é definido; contudo o limite relevante é
\lim_{x\to 0^{+}} x\log_{2}(x)=0.
Uma maneira rápida de ver isso é usar \log_{2}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 2} e a conhecida propriedade \lim_{x\to0^{+}} x\ln x=0 (por exemplo, faça a substituição x=e^{-t} com t\to+\infty e veja que t e^{-t}\to0). Logo o termo pode ser naturalmente estendido por continuidade em x=0 com valor 0.
Portanto, para todo x\in[0,1] vale
-x\log_{2}(x)\ge 0,
com igualdade exatamente quando x=0 ou x=1.

Passo 3

Como cada parcela da soma é não negativa, a soma inteira é não negativa:
E(x_{1},\dots,x_{n}) = \sum_{k=1}^{n}\big(-x_{k}\log_{2}(x_{k})\big) \ge 0.
Assim o menor valor possível de E é pelo menos 0. Agora procuremos vetores que atingem 0. Se escolhermos um vetor com uma coordenada igual a 1 e todas as outras 0, por exemplo (1,0,\dots,0), obtemos
E(1,0,\dots,0) = -1\cdot\log_{2}(1) + \sum_{k\ge2} 0 = 0.
Portanto o valor 0 é atingido por esses vetores.

Passo 4

Mostremos que não existem outros pontos que atinjam 0. Se E(x_{1},\dots,x_{n})=0, sendo a soma de termos não negativos, cada termo deve ser zero:
\forall k:\quad -x_{k}\log_{2}(x_{k})=0.
Como visto no Passo 2, para x_{k}\in[0,1] essa igualdade só ocorre quando x_{k}=0 ou x_{k}=1. Mas a soma das coordenadas deve ser 1; portanto exatamente uma coordenada vale 1 e as demais valem 0. Concluímos que os únicos pontos que dão E=0 são os vetores padrões (vértices do simplex):
(1,0,\dots,0),\\ (0,1,0,\dots,0),\\ \dots,\\ (0,\dots,0,1).

Passo 5

Como bônus didático: se quisermos ver o comportamento no interior do simplex (todas as x_{k}>0), podemos usar multiplicadores de Lagrange. Calculando a derivada de uma parcela
\frac{d}{dx}\big(-x\log_{2}x\big) = -\frac{\ln x + 1}{\ln 2},
e impondo a condição \nabla E = \lambda \nabla(x_{1}+\cdots+x_{n}) obtemos x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=1/n, que é o ponto uniforme. Além disso a segunda derivada de cada parcela é
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\big(-x\log_{2}x\big) = -\frac{1}{x\ln 2}<0\quad\text{para }x>0,
ou seja cada parcela é côncava e E é soma de funções côncavas, logo E é côncava no interior; portanto o ponto x_{k}=1/n é um máximo (não um mínimo). Isso confirma que o mínimo não está no interior, mas nos vértices já identificados.

Resposta

(1,0,\dots,0),\\ (0,1,0,\dots,0),\\ \dots,\\ (0,\dots,0,1)
Valor mínimo: 0

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