Determine o ponto mais quente e o ponto mais frio da esfera x^2+y^2+z^2=1, sabendo-se que a temperatura é dada por T(x, y, z)=x^4+y^4+z^4.

Passo 1

Aqui queremos otimizar a temperatura dada por
T(x,y,z)=x^4+y^4+z^4
sujeito à restrição da esfera
x^2+y^2+z^2=1.
O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Montamos a Lagrangiana
L(x,y,z,lambda)=x^4+y^4+z^4-lambdal(x^2+y^2+z^2-1r)
As equações de primeira ordem são
partial Lpartial x=4x^3-2lambda x=0, partial Lpartial y=4y^3-2lambda y=0, partial Lpartial z=4z^3-2lambda z=0,
além de
partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2+z^2-1)=0

Passo 3

Cada equação 4x^3-2lambda x=0 2x(2x^2-lambda)=0. Assim para cada coordenada vale ou (a) x=0 ou (b) lambda=2x^2. Análogamente para y,z. Isso gera três tipos de pontos críticos:
  1. Três coordenadas não nulas, logo
    lambda=2x^2=2y^2=2z^2 e pela restrição x^2+y^2+z^2=1 obtemos
    ,x^2=y^2=z^2=tfrac13.
  2. Apenas uma coordenada não nula, por exemplo x^2=1, y=0, z=0.
  3. Duas coordenadas não nulas, digamos x,z=0 e x^2=y^2, da restrição 2x^2=1 vem x^2=y^2=tfrac12.

Passo 4

Agora avaliamos T em cada tipo:
  1. Para x^2=y^2=z^2=tfrac13:
T=3l(tfrac13r)^2=tfrac13
  1. Para x^2=1 (e as outras zero):
T=1^4+0+0=1
  1. Para x^2=y^2=tfrac12, z=0:
T=2l(tfrac12r)^2=tfrac12

Passo 5

Comparando tfrac13, tfrac12 e 1, vemos que o mínimo global é tfrac13 e o máximo global é 1.

Resposta

Ponto mais frio: (pmtfrac1raiz3,pmtfrac1raiz3,pmtfrac1raiz3) (todas as combinações de sinais), com
Tmin=tfrac13.
Ponto mais quente: (pm1,0,0), (0,pm1,0), (0,0,pm1), com
Tmax=1.

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