Determine o ponto mais quente e o ponto mais frio da esfera
, sabendo-se que a temperatura é dada por
.
Passo 1
Aqui queremos otimizar a temperatura dada por
sujeito à restrição da esfera
.
O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar multiplicadores de Lagrange.
sujeito à restrição da esfera
O conteúdo é otimização com restrição; vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Montamos a Lagrangiana
As equações de primeira ordem são
além de
Passo 3
Cada equação
dá
. Assim para cada coordenada vale ou (a)
ou (b)
. Análogamente para
. Isso gera três tipos de pontos críticos:
- Três coordenadas não nulas, logo
e pela restrição obtemos
. - Apenas uma coordenada não nula, por exemplo
, , . - Duas coordenadas não nulas, digamos
e , da restrição vem .
Passo 4
Agora avaliamos
em cada tipo:
- Para
:
- Para
(e as outras zero):
- Para
, :
Passo 5
Comparando
,
e
, vemos que o mínimo global é
e o máximo global é
.
Resposta
Ponto mais frio:
(todas as combinações de sinais), com
.
Ponto mais quente: ,
,
, com
.
Ponto mais quente: