(valor 1,5) Determine as constantes a e b para que o lim x 2 x^2+a x+bx-2=5.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar constantes a e b tais que o limite
limx to 2 x^2 + a x + bx-2 = 5
exista e valha 5. O conteúdo aqui é limite de função racional e vamos usar fatoração ou divisão de polinômios para remover a indeterminação do tipo tfrac00.

Passo 2

Para o limite ser finito, a substituição direta em x=2 não pode gerar tfracalgo0. Isso só acontece se o numerador também se anula em x=2. Logo, exigimos
2^2 + acdot 2 + b = 0,
ou seja
4 + 2a + b = 0

Passo 3

Da equação 4 + 2a + b = 0 isolamos b:
b = -4 - 2a
Com isso, o numerador x^2 + a x + b torna-se divisível por (x-2). Usando divisão polinomial, obtemos o quociente
x^2 + a x + bx-2 = x + (a+2)

Passo 4

Agora basta calcular o limite do quociente quando xto2:
limxto2l(x + (a+2)r) = 2 + (a+2) = a + 4
Como o enunciado pede que esse valor seja 5, igualamos:
a + 4 = 5 Longrightarrow a = 1
Substituindo em b = -4 - 2a, obtemos
b = -4 - 2cdot1 = -6

Resposta

a = 1, b = -6

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