- Determine o ponto no qual a reta com equações paramétricas
, intercepta o plano
.
Passo 1
O enunciado dá uma reta por equações paramétricas e um plano por uma equação cartesiana. O que é pedido:
- A reta é dada por
. Aqui é o parâmetro real. - O plano é dado por
. - Pergunta: determinar o ponto em que a reta intercepta (cruza) o plano.
Informações relevantes fornecidas:
- Funções de
para as coordenadas da reta: - Equação do plano:
- Não há outros dados adicionais.
Passo 2
Entendendo a estratégia (sem resolver ainda): para achar a interseção substitui-se as coordenadas paramétricas da reta na equação do plano e resolve-se a equação para
. Isso funciona porque, no ponto de interseção, as coordenadas da reta satisfazem a equação do plano.
Pequena aula sobre as peças envolvidas:
- A reta em forma paramétrica mostra as coordenadas como funções de um parâmetro
. Um ponto da reta corresponde a um valor concreto de . - A equação do plano na forma
tem um vetor normal . Esse vetor é perpendicular a todo vetor direcional da reta que esteja contido no plano. - Se o produto escalar entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta for zero, a reta é paralela ao plano (ou contida nele); nesse caso pode não existir interseção única. Então é útil calcular o vetor diretor da reta e verificar se há paralelismo antes de prosseguir.
Identificando elementos na reta:
- Ponto inicial (quando
): . (Isto é só para intuição.) - Vetor diretor da reta (coeficientes de
): , porque
Identificando o vetor normal do plano:
- Do plano
segue .
Verificação de paralelismo (rápida): calcular
.
Como
, a reta não é paralela ao plano e, portanto, haverá exatamente um ponto de interseção. Agora podemos achar
por substituição.
Passo 3
Substituir as expressões paramétricas na equação do plano. Escrevendo a equação do plano e substituindo:
Passo 4
Desenvolver a equação e simplificar passo a passo:
Agrupando termos constantes e termos com
:
ou seja
Passo 5
Resolver a equação para
:
Passo 6
Agora obter as coordenadas correspondentes a
usando as fórmulas da reta (aqui calculam-se as coordenadas separadamente, sem afirmar a resposta final nesta etapa):
Verificação rápida (substituir no plano) para conferir coerência:
o que é verdade, então os números calculados satisfazem a equação do plano.