1. Determine o ponto no qual a reta com equações paramétricas x=2-t, y=1+3 t, z=4 t, intercepta o plano 2 x-y+z=2.

Passo 1

O enunciado dá uma reta por equações paramétricas e um plano por uma equação cartesiana. O que é pedido:
  • A reta é dada por x=2-t,\; y=1+3t,\; z=4t. Aqui t é o parâmetro real.
  • O plano é dado por 2x-y+z=2.
  • Pergunta: determinar o ponto em que a reta intercepta (cruza) o plano.
Informações relevantes fornecidas:
  • Funções de t para as coordenadas da reta: \;x(t)=2-t,\; y(t)=1+3t,\; z(t)=4t.
  • Equação do plano: \;2x-y+z=2.
  • Não há outros dados adicionais.

Passo 2

Entendendo a estratégia (sem resolver ainda): para achar a interseção substitui-se as coordenadas paramétricas da reta na equação do plano e resolve-se a equação para t. Isso funciona porque, no ponto de interseção, as coordenadas da reta satisfazem a equação do plano.
Pequena aula sobre as peças envolvidas:
  • A reta em forma paramétrica mostra as coordenadas como funções de um parâmetro \,t. Um ponto da reta corresponde a um valor concreto de \,t.
  • A equação do plano na forma \,ax+by+cz=d tem um vetor normal \,n=(a,b,c). Esse vetor é perpendicular a todo vetor direcional da reta que esteja contido no plano.
  • Se o produto escalar entre o vetor normal do plano e o vetor diretor da reta for zero, a reta é paralela ao plano (ou contida nele); nesse caso pode não existir interseção única. Então é útil calcular o vetor diretor da reta e verificar se há paralelismo antes de prosseguir.
Identificando elementos na reta:
  • Ponto inicial (quando t=0): \,(x,y,z)=(2,1,0). (Isto é só para intuição.)
  • Vetor diretor da reta (coeficientes de t): \,v=(-1,3,4), porque \,x=2+(-1)t,\;y=1+3t,\;z=0+4t.
Identificando o vetor normal do plano:
  • Do plano \,2x-y+z=2 segue \,n=(2,-1,1).
Verificação de paralelismo (rápida): calcular \,n\cdot v.
n\cdot v = (2,-1,1)\cdot(-1,3,4)=2\cdot(-1)+(-1)\cdot3+1\cdot4=-2-3+4=-1\neq0.
Como \,n\cdot v\neq0, a reta não é paralela ao plano e, portanto, haverá exatamente um ponto de interseção. Agora podemos achar t por substituição.

Passo 3

Substituir as expressões paramétricas na equação do plano. Escrevendo a equação do plano e substituindo:
2x-y+z=2
2(2-t) - (1+3t) + 4t = 2.

Passo 4

Desenvolver a equação e simplificar passo a passo:
2(2-t) - (1+3t) + 4t = 2
4 - 2t - 1 - 3t + 4t = 2
Agrupando termos constantes e termos com t:
(4-1) + (-2t-3t+4t) = 2
3 + (-1)t = 2
ou seja
3 - t = 2.

Passo 5

Resolver a equação para t:
3 - t = 2 \quad\Rightarrow\quad -t = -1 \quad\Rightarrow\quad t=1.

Passo 6

Agora obter as coordenadas correspondentes a t=1 usando as fórmulas da reta (aqui calculam-se as coordenadas separadamente, sem afirmar a resposta final nesta etapa):
x(1)=2-1=1,
y(1)=1+3\cdot1=4,
z(1)=4\cdot1=4.
Verificação rápida (substituir no plano) para conferir coerência:
2\cdot 1 - 4 + 4 = 2,
o que é verdade, então os números calculados satisfazem a equação do plano.

Resposta

(1,4,4)

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