Determine o ponto da reta r de equação
x+3 y=-15
que equidista dos pontos A=(1,4) e B=(3,0).

Passo 1

O enunciado pede o ponto P=(x,y) sobre a reta
x + 3y = -15
que satisfaz
PA = PB,
onde A=(1,4) e B=(3,0). Vamos usar a fórmula da distância no plano e o fato de que o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B é a mediatriz do segmento \overline{AB}.

Passo 2

Escrevemos a igualdade das distâncias ao quadrado para evitar raiz:
(x-1)^2 + (y-4)^2 \;=\;(x-3)^2 + (y-0)^2.
Desenvolvendo ambos os lados:
x^2 - 2x +1 + y^2 -8y +16 = x^2 -6x +9 + y^2.
Cancelam x^2 e y^2; sobrando
-2x -8y +17 = -6x +9 \quad\Longrightarrow\quad 4x -8y +8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 2y +2 = 0.
Essa é a equação da mediatriz de AB.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema formado por
\begin{cases} x + 3y = -15,\\\ x - 2y +2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação, x = 2y - 2. Substituindo na primeira:
(2y - 2) + 3y = -15 \quad\Longrightarrow\quad 5y -2 = -15 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{13}{5}.
Então
x = 2\Bigl(-\tfrac{13}{5}\Bigr) - 2 = -\tfrac{26}{5} - \tfrac{10}{5} = -\tfrac{36}{5}.

Resposta

O ponto da reta que equidista de A e B é
\Bigl(-\tfrac{36}{5},\,-\tfrac{13}{5}\Bigr).

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