Sejam A=(-5,-2) e B=(-1,2) pontos do plano e r a reta de equação
x-y=3
Determine:
a) A equação da reta s que passa por A e B.
b) O ponto P da reta r que equidista dos pontos A e B.
c) A distância de P a reta s.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(-5,-2), B=(-1,2) e a reta r de equação
x - y = 3
e pede:
a) a equação da reta s que passa por A e B;
b) o ponto P em r que equidista de A e B;
c) a distância de P até s.
Vamos usar cálculo de coeficiente angular, equação de reta por dois pontos, bissetriz perpendicular (locus de pontos equidistantes), intersecção de retas e fórmula de distância ponto-reta.

Passo 2

Para achar a reta s que passa por A e B, calculamos o coeficiente angular
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-2)}{-1 - (-5)} = \frac{4}{4} = 1.
Usando a forma ponto-reta em A:
y - (-2) = 1\,(x - (-5))
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y + 2 = x + 5 \quad\Longrightarrow\quad y = x + 3.
Portanto a equação de s é
y = x + 3.

Passo 3

O ponto P\) equidistante de \(A\) e \(B\) pertence à bissetriz perpendicular de \(AB\). Primeiro, o ponto médio \[M\Bigl(\tfrac{-5 + (-1)}{2},\,\tfrac{-2 + 2}{2}\Bigr) = (-3,0).
Como o coeficiente angular de AB é 1, o da bissetriz perpendicular é -1. Assim sua equação em M é
y - 0 = -1\,(x + 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -x - 3.
Para achar P, intersectamos com r:
\begin{cases} x - y = 3,\\\ y = -x - 3. \end{cases}
Substituindo (y] na primeira,
x - (-x - 3) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,
e então
y = -0 - 3 = -3.
Logo
P = (0,-3).

Passo 4

Usamos a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta \alpha x + \beta y + \gamma=0:
d = \frac{\bigl|\alpha x_0 + \beta y_0 + \gamma\bigr|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}.
A reta s\colon y = x + 3 pode ser escrita como
x - y + 3 = 0,
isto é, \alpha=1, \beta=-1, \gamma=3. Para P=(0,-3):
d = \frac{\bigl|1\cdot 0 + (-1)\cdot(-3) + 3\bigr|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}.

Resposta

a) y = x + 3
b) P = (0,-3)
c) d(P,s) = 3\sqrt{2}

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