Sejam A=(-5,-2) e B=(-1,2) pontos do plano e r a reta de equação
x-y=3
Determine:
a) A equação da reta s que passa por A e B.
b) O ponto P da reta r que equidista dos pontos A e B.
c) A distância de P a reta s.
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos A=(-5,-2), B=(-1,2) e a reta r de equação
x - y = 3
e pede:
a) a equação da reta s que passa por A e B;
b) o ponto P em r que equidista de A e B;
c) a distância de P até s.
Vamos usar cálculo de coeficiente angular, equação de reta por dois pontos, bissetriz perpendicular (locus de pontos equidistantes), intersecção de retas e fórmula de distância ponto-reta.
Passo 2
Para achar a reta s que passa por A e B, calculamos o coeficiente angular
y + 2 = x + 5 \quad\Longrightarrow\quad y = x + 3.
Portanto a equação de s é
y = x + 3.
Passo 3
O ponto P\) equidistante de \(A\) e \(B\) pertence à bissetriz perpendicular de \(AB\). Primeiro, o ponto médio
\[M\Bigl(\tfrac{-5 + (-1)}{2},\,\tfrac{-2 + 2}{2}\Bigr) = (-3,0).
Como o coeficiente angular de AB é 1, o da bissetriz perpendicular é -1. Assim sua equação em M é
y - 0 = -1\,(x + 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -x - 3.
Para achar P, intersectamos com r:
\begin{cases} x - y = 3,\\\ y = -x - 3. \end{cases}
Substituindo (y] na primeira, x - (-x - 3) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 0,
e então y = -0 - 3 = -3.
Logo P = (0,-3).
Passo 4
Usamos a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta \alpha x + \beta y + \gamma=0: