4 Determine os pontos de acumulação do conjunto
Passo 1
O enunciado pede os pontos de acumulação de
Aqui o conteúdo é topologia em
: ponto de acumulação (ou aderência sem isolamento) e fecho de conjuntos.
Passo 2
Um ponto
é ponto de acumulação de
se, para todo raio
, a bola aberta
contém algum ponto de
diferente de
.
Passo 3
Se
satisfaz
, então
está no interior de
(pois
é um semiplano aberto). Logo, para qualquer
, há pontos de
dentro de
(até mesmo
deslocado um pouco), o que mostra que todo ponto de
é ponto de acumulação.
Passo 4
Se
satisfaz
, então toda vizinhança de
cruza o semiplano
. Basta notar que, para qualquer
, existe
tal que o ponto
está em
e tem segunda coordenada
logo pertence a
. Assim todo ponto da reta
é também ponto de acumulação.
Passo 5
Se
satisfaz
, então a distância vertical ao semiplano
é
. Tomando
, qualquer
satisfaz
logo
e
. Daí existe vizinhança sem pontos de
, mostrando que tais
não são pontos de acumulação.
Resposta
O conjunto dos pontos de acumulação de
é