4 Determine os pontos de acumulação do conjunto A=(x, y) in R^2: y<-x

Passo 1

O enunciado pede os pontos de acumulação de
A = (x,y)inR^2 : y < -x
Aqui o conteúdo é topologia em R^2: ponto de acumulação (ou aderência sem isolamento) e fecho de conjuntos.

Passo 2

Um ponto (a,b) é ponto de acumulação de A se, para todo raio r>0, a bola aberta
Br(a,b) = (x,y)inR^2 : raiz(x-a)^2+(y-b)^2<r
contém algum ponto de A diferente de (a,b).

Passo 3

Se (a,b) satisfaz b < -a, então (a,b) está no interior de A (pois A é um semiplano aberto). Logo, para qualquer r>0, há pontos de A dentro de Br(a,b) (até mesmo (a,b) deslocado um pouco), o que mostra que todo ponto de A é ponto de acumulação.

Passo 4

Se (a,b) satisfaz b = -a, então toda vizinhança de (a,b) cruza o semiplano y < -x. Basta notar que, para qualquer r>0, existe de<a>0 tal que o ponto l(a+de<a,;b-de<ar) está em Br(a,b) e tem segunda coordenada
b-de<a = -a-de<a < -(a+de<a),
logo pertence a A. Assim todo ponto da reta y=-x é também ponto de acumulação.

Passo 5

Se (a,b) satisfaz b > -a, então a distância vertical ao semiplano y=-x é d = b+a>0. Tomando r = d/2, qualquer (x,y)in Br(a,b) satisfaz
y ;-;(-x) ;=; y + x ;>; b + a - r ;=; d - tfrac d2 = tfrac d2 > 0,
logo y > -x e (x,y)notin A. Daí existe vizinhança sem pontos de A, mostrando que tais (a,b) não são pontos de acumulação.

Resposta

O conjunto dos pontos de acumulação de A é
(x,y)inR^2 : y <= -x

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