Exercício 11. Seja f: M longrightarrow R^d uma função definida na superfície diferenciável M subseteq R^m. Prove que, se existe F: U subseteq R^m longrightarrow R^d de classe C^k, definida em um aberto U subseteq R^m tal que M subset U e tal que F|M=f, então f é uma aplicação de classe C^k.

Passo 1

O enunciado considera uma subvariedade diferenciável MsubseteqR^m (superfície diferenciável) e uma função fcolon MtoR^d. Sabemos que existe uma extensão Fcolon UtoR^d de classe C^k num aberto UsubseteqR^m com Msubset U e F|M=f. Queremos mostrar que, segundo a definição de aplicação de classe C^k em uma variedade, f também é C^k.

Passo 2

Recordemos a definição: fcolon MtoR^d é de classe C^k se, para todo carta (W,varphi) de M — isto é, varphicolon VsubsetR^nto Wsubset M é um difeomorfismo local de classe C^k — a composição
fcircvarphicolon V;longrightarrow;R^d
é uma função de classe C^k no aberto VsubsetR^n.

Passo 3

Seja então (W,varphi) uma carta qualquer de M. Como Msubset U, podemos restringir VsubsetR^n de modo que varphi(V)subset Wsubset Msubset U. Assim varphi(V) está contido no domínio de F.

Passo 4

Observe que, para todo xin V, vale
(fcircvarphi)(x) ;=; fl(varphi(x)r) ;=; Fl(varphi(x)r) ;=; (Fcircvarphi)(x),
pois varphi(x)in M e F coincide com f em M.

Passo 5

Como varphicolon Vto U é de classe C^k (é a parametrização da variedade) e Fcolon UtoR^d também é de classe C^k por hipótese, a composição
Fcircvarphicolon VtoR^d
é de classe C^k.

Passo 6

Concluímos que fcircvarphi = Fcircvarphi é de classe C^k para toda carta (W,varphi) de M. Pelo critério de suavidade em variedades, isso mostra que f é de classe C^k.

Resposta

f é de classe C^k.

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