Exercício 11. Seja
uma função definida na superfície diferenciável
. Prove que, se existe
de classe
, definida em um aberto
tal que
e tal que
, então
é uma aplicação de classe
.
Passo 1
O enunciado considera uma subvariedade diferenciável
(superfície diferenciável) e uma função
. Sabemos que existe uma extensão
de classe
num aberto
com
e
. Queremos mostrar que, segundo a definição de aplicação de classe
em uma variedade,
também é
.
Passo 2
Recordemos a definição:
é de classe
se, para todo carta
de
— isto é,
é um difeomorfismo local de classe
— a composição
é uma função de classe
no aberto
.
Passo 3
Seja então
uma carta qualquer de
. Como
, podemos restringir
de modo que
. Assim
está contido no domínio de
.
Passo 4
Observe que, para todo
, vale
pois
e
coincide com
em
.
Passo 5
Como
é de classe
(é a parametrização da variedade) e
também é de classe
por hipótese, a composição
é de classe
.
Passo 6
Concluímos que
é de classe
para toda carta
de
. Pelo critério de suavidade em variedades, isso mostra que
é de classe
.