Exercício 14. (Apostol seção 1.17 exercício 1) Para cada um dos casos abaixo, ache uma base ortonormal para o subespaço de
gerado pelos vetores dados:
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal para o subespaço de
gerado por
,
e
. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que envolve projeções e normalização, para obter vetores ortogonais e em seguida torná-los unitários.
Passo 2
Primeiro encontramos uma base mais simples do mesmo subespaço. Observando que
Passo 3
Aplicamos o passo 1 do Gram–Schmidt: normalizar
. Temos
logo
Passo 4
Agora ortogonalizamos
em relação a
:
Como
, segue
Passo 5
Por fim normalizamos
. O comprimento de
é
Então
Resposta
Uma base ortonormal para o subespaço é