Exercício 14. (Apostol seção 1.17 exercício 1) Para cada um dos casos abaixo, ache uma base ortonormal para o subespaço de R^3 gerado pelos vetores dados:
u1=(1,1,1), u2=(-1,1,-1), u3=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal para o subespaço de R^3 gerado por u1=(1,1,1), u2=(-1,1,-1) e u3=(1,0,1). Vamos usar o processo de Gram–Schmidt, que envolve projeções e normalização, para obter vetores ortogonais e em seguida torná-los unitários.

Passo 2

Primeiro encontramos uma base mais simples do mesmo subespaço. Observando que
u1 - u3 = (1,1,1) - (1,0,1) = (0,1,0),
v1=u1 e v2 = u1 - u3 = (0,1,0) são linearmente independentes e geram o mesmo plano.

Passo 3

Aplicamos o passo 1 do Gram–Schmidt: normalizar v1. Temos
|v1| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3,
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e1 = v1|v1| = 1raiz3(1,1,1)

Passo 4

Agora ortogonalizamos v2 em relação a e1:
w2 = v2 - (v2cdote1),e1
Como v2cdote1 = tfrac0+1+0raiz3 = tfrac1raiz3, segue
w2 = (0,1,0) - 1raiz3cdot1raiz3(1,1,1) = (0,1,0) - 13(1,1,1) = l(-tfrac13,tfrac23,-tfrac13r)

Passo 5

Por fim normalizamos w2. O comprimento de w2 é
|w2| = raizl(-tfrac13r)^2 + l(tfrac23r)^2 + l(-tfrac13r)^2 = raiztfrac1+4+19 = raiztfrac69 = raiztfrac23
Então
e2 = w2|w2| = 1raiz2/3l(-tfrac13,tfrac23,-tfrac13r) = 1raiz6(-1,2,-1)

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço é
e1 = 1raiz3(1,1,1), e2 = 1raiz6(-1,2,-1)

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