(7,0) Determine os pontos de continuidade da funçāo
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{3}+y^{3}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{x^{3}+y^{3}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O que precisa ser respondido: determinar os pontos de continuidade de f.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão \dfrac{xy}{x^{3}+y^{3}} só faz sentido (no sentido de número real) quando o denominador não é zero, isto é quando x^{3}+y^{3}\neq0.
  • A função foi explicitamente definida no ponto (0,0) com valor f(0,0)=0.
  • O conjunto onde x^{3}+y^{3}=0 é a reta y=-x (essa igualdade inclui o ponto (0,0)). Para (x,y)\neq(0,0) e y=-x a expressão tem denominador zero e, portanto, não fornece um valor real.]

Passo 2

Primeiro caso: pontos (x_0,y_0) tais que x_0^{3}+y_0^{3}\neq0.
Explicação da ideia matemática usada: polinômios são funções contínuas em toda parte; quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Aqui (x,y)\mapsto xy e (x,y)\mapsto x^{3}+y^{3} são polinômios (logo contínuos). Assim a função
(x,y)\mapsto \frac{xy}{x^{3}+y^{3}}
é contínua em todo ponto onde x^{3}+y^{3}\neq0.
Conclusão deste passo: todo ponto (x_0,y_0) com x_0^{3}+y_0^{3}\neq0 é ponto de continuidade de f porque aí a fórmula vale e é um quociente contínuo com denominador não nulo.

Passo 3

Pontos da reta y=-x com (x,y)\neq(0,0).
Observação: para esses pontos x^{3}+y^{3}=0 e (x,y)\neq(0,0), a expressão \dfrac{xy}{x^{3}+y^{3}} tem denominador zero e portanto não define um número real — ou seja, a função não está definida nesses pontos. Como um ponto onde a função não está definida não pode ser ponto de continuidade, concluímos que nenhum ponto de y=-x com (x,y)\neq(0,0) é ponto de continuidade (na verdade esses pontos não pertencem ao domínio da parte racional da função).

Passo 4

Análise do ponto (0,0) (onde a função foi definida como 0).
Definição usada: f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Então temos que calcular (ou testar) o limite de \dfrac{xy}{x^{3}+y^{3}} quando (x,y)\to(0,0).
Estratégia prática (método de caminhos): se encontrarmos duas abordagens ao origem que dão limites diferentes (ou uma que dá um valor infinito), então o limite total não existe.
Escolha do caminho simples: tomar y=x. Para x\neq0 a expressão é bem definida (pois x^{3}+x^{3}=2x^{3}\neq0). Substituindo y=x obtemos
f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{3}+x^{3}}=\frac{x^{2}}{2x^{3}}=\frac{1}{2x}.
Quando x\to0 a quantidade \dfrac{1}{2x} diverge: tende a +\infty se x\to0^{+} e a -\infty se x\to0^{-}. Em particular não tende a 0.
Portanto a limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe (é não limitado ao longo da reta y=x), e consequentemente f não é contínua em (0,0).
Comentário pedagógico: basta um caminho que não dê o mesmo valor para mostrar falta de limite; aqui o caminho y=x já mostra divergência, o que é suficiente.

Passo 5

Juntando as conclusões:
  • Em todos os pontos onde x^{3}+y^{3}\neq0 a função é dada por um quociente de polinômios com denominador não nulo, logo f é contínua nesses pontos.
  • Nos pontos da reta y=-x com (x,y)\neq(0,0) a expressão não está definida (denominador zero), portanto esses pontos não são pontos de continuidade (nem pertencem ao domínio da parte racional).
  • No ponto (0,0) a função foi definida como 0, mas o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe (ex.: caminho y=x dá divergência), logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em todo ponto (x,y) tal que x^{3}+y^{3}\neq0.
f não é contínua em (0,0) (o limite não existe) e a função não está definida para (x,y)\neq(0,0) com x^{3}+y^{3}=0.

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