Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ f e seus domínios.
f(x)=1 / x, g(x)=x^{3}+2 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as funções compostas f\circ g, g\circ f, f\circ f e g\circ f e também determinar os domínios de cada uma. As informações dadas são:
  • f(x)=\dfrac{1}{x}. O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{0\} (porque não se pode dividir por zero).
  • g(x)=x^{3}+2x. O domínio de g é \mathbb{R} (polinômio definido para todos os reais).
As perguntas concretas são:
  1. Qual é (f\circ g)(x) e qual o seu domínio?
  2. Qual é (g\circ f)(x) e qual o seu domínio?
  3. Qual é (f\circ f)(x) e qual o seu domínio?
  4. Qual é (g\circ f)(x) e qual o seu domínio? (observação: esta última é idêntica à pergunta 2; será apresentada novamente conforme pedido.)

Passo 2

Relembrando a definição de composição e a regra de domínio (passo-a-passo didático):
  • A composição (f\circ g)(x) significa f(g(x)).
  • Em termos de domínio: um x pertence ao domínio de f\circ g se e somente se x está no domínio de g e g(x) está no domínio de f. Em símbolos:
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.
  • Mesma ideia para g\circ f: (g\circ f)(x)=g(f(x)) e
\operatorname{Dom}(g\circ f)=\{x\in\operatorname{Dom}(f)\mid f(x)\in\operatorname{Dom}(g)\}.
Vou aplicar essas regras caso a caso.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Primeiro substitui-se g(x) na expressão de f:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{x^{3}+2x}.
  • Agora o domínio: g é definido para todos os x\in\mathbb{R}, então partimos de \mathbb{R} e excluímos os x tais que g(x)\notin\operatorname{Dom}(f). Como \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}, precisamos excluir os x que tornam g(x)=0.
  • Resolver g(x)=0:
x^{3}+2x=0 \implies x(x^{2}+2)=0.
  • Como x^{2}+2>0 para todo x\in\mathbb{R}, a única raiz real é x=0.
  • Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Conclusão deste passo:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{x^{3}+2x},\qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Substitui-se f(x)=\dfrac{1}{x} na expressão de g:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\left(\frac{1}{x}\right)^{3}+2\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x}.
  • Podemos simplificar para uma única fração (opcional, mas útil para ver comportamento):
\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x}=\frac{1+2x^{2}}{x^{3}}.
  • Agora o domínio: para g\circ f precisamos de x\in\operatorname{Dom}(f) e f(x)\in\operatorname{Dom}(g). Como \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\} (pois f não está definida em x=0) e \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R} (sempre definido), basta exigir x\neq 0. Não há nenhuma outra restrição (valor de f(x) sempre é um real, logo está no domínio de g).
  • Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Conclusão deste passo:
(g\circ f)(x)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{2}{x}=\frac{1+2x^{2}}{x^{3}},\qquad \operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)).
  • Substituir f(x)=\dfrac{1}{x} em f:
(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=\frac{1}{\dfrac{1}{x}}.
  • A operação \dfrac{1}{1/x} é simplesmente o inverso do inverso, ou seja:
\frac{1}{\dfrac{1}{x}}=x.
  • Agora o domínio: para que f\circ f faça sentido, precisamos que x\in\operatorname{Dom}(f) (ou seja x\neq 0) e também que f(x)\in\operatorname{Dom}(f). Mas f(x)=1/x nunca é zero para x\neq 0; portanto f(x) está sempre no domínio de f. Logo a única restrição é x\neq 0.
  • Observação útil: isso mostra que f é uma involução em \mathbb{R}\setminus\{0\}, isto é, f^{-1}=f nesse domínio.
Conclusão deste passo:
(f\circ f)(x)=x,\qquad \operatorname{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 6

Relembrando que a pergunta 4 repetia g\circ f, então a resposta é idêntica à da pergunta 2 (já encontrada no Passo 4). Registro final: (g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{2}{x} com domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x^{3}+2x},\\ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}
(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{1+2x^{2}}{x^{3}},\\ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}
(f\circ f)(x)=x,\\ \operatorname{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}
(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{1+2x^{2}}{x^{3}},\\ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}

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