Encontre as funções
e
e seus domínios.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as funções compostas
,
,
e
e também determinar os domínios de cada uma. As informações dadas são:
-
. O domínio de é (porque não se pode dividir por zero). -
. O domínio de é (polinômio definido para todos os reais).
As perguntas concretas são:
- Qual é
e qual o seu domínio? - Qual é
e qual o seu domínio? - Qual é
e qual o seu domínio? - Qual é
e qual o seu domínio? (observação: esta última é idêntica à pergunta 2; será apresentada novamente conforme pedido.)
Passo 2
Relembrando a definição de composição e a regra de domínio (passo-a-passo didático):
- A composição
significa . - Em termos de domínio: um
pertence ao domínio de se e somente se está no domínio de e está no domínio de . Em símbolos:
- Mesma ideia para
: e
Vou aplicar essas regras caso a caso.
Passo 3
Calcular
.
- Primeiro substitui-se
na expressão de :
- Agora o domínio:
é definido para todos os , então partimos de e excluímos os tais que . Como , precisamos excluir os que tornam . - Resolver
:
- Como
para todo , a única raiz real é . - Portanto o domínio é
.
Conclusão deste passo:
Passo 4
Calcular
.
- Substitui-se
na expressão de :
- Podemos simplificar para uma única fração (opcional, mas útil para ver comportamento):
- Agora o domínio: para
precisamos de e . Como (pois não está definida em ) e (sempre definido), basta exigir . Não há nenhuma outra restrição (valor de sempre é um real, logo está no domínio de ). - Portanto o domínio é
.
Conclusão deste passo:
Passo 5
Calcular
.
- Substituir
em :
- A operação
é simplesmente o inverso do inverso, ou seja:
- Agora o domínio: para que
faça sentido, precisamos que (ou seja ) e também que . Mas nunca é zero para ; portanto está sempre no domínio de . Logo a única restrição é . - Observação útil: isso mostra que
é uma involução em , isto é, nesse domínio.
Conclusão deste passo:
Passo 6
Relembrando que a pergunta 4 repetia
, então a resposta é idêntica à da pergunta 2 (já encontrada no Passo 4). Registro final:
com domínio
.