Encontre as funções
e
e seus domínios.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede quatro composições e os domínios correspondentes. As funções fornecidas são:
As composições pedidas (na ordem do enunciado) são:
-
, -
, -
, -
(essa aparece repetida no enunciado).
O que precisamos devolver para cada composição:
- a expressão simplificada de
; - o domínio dessa composição (conjunto dos
reais para os quais a composição está bem definida).
Passo 2
Regra geral sobre domínio de composição (explicação didática):
Se , isto é
, então para que
esteja bem definida é preciso:
Se
-
estar no domínio de ; -
estar no domínio de .
Em símbolos:
Vou aplicar essa regra em cada caso, resolvendo as desigualdades que surgirem de maneira clara e passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
.
Primeiro escrevo a composição:
Substituindo
:
Agora o domínio: preciso que
exista e que o argumento da raiz final seja não negativo.
- Existência de
: isto é . - Argumento da raiz (após simplificar):
isto é .
Interseção das condições:
e
dá
. Portanto
Observação rápida (checagem): para
temos
então
é
e a fórmula inicial também resulta em
, consistente com a simplificação
.
Passo 4
Cálculo de
.
Escrevo a composição:
Substituindo
:
Agora o domínio: duas condições
-
existe: isto é (ou ou ); - argumento da raiz externa não negativo:
, ou seja .
Para resolver
: como modelo é uma raiz quadrada (sempre não negativa), posso elevar ao quadrado sem mudar desigualdade:
Agora faço a interseção com
: conjunto dos
tais que
. Em intervalos:
Portanto a expressão é
com domínio acima.
Passo 5
Cálculo de
.
Escrevo a composição:
Substituindo
:
Agora o domínio:
- Primeiro
deve existir: isto é . - Depois o argumento externo deve ser
: isto é .
A condição mais forte é
, que implica
. Assim
Passo 6
Observação sobre a repetição de
no enunciado:
O enunciado pediu duas vezes; a segunda ocorrência é igual à já calculada no Passo 4. Não há novo cálculo a fazer — a expressão e o domínio são os mesmos do Passo 4.
O enunciado pediu