Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ f e seus domínios.
f(x)=\sqrt{x^{2}-1}, \quad g(x)=\sqrt{1-x}

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede quatro composições e os domínios correspondentes. As funções fornecidas são:
f(x)=\sqrt{x^{2}-1},\qquad g(x)=\sqrt{1-x}.
As composições pedidas (na ordem do enunciado) são:
  • f\circ g,
  • g\circ f,
  • f\circ f,
  • g\circ f (essa aparece repetida no enunciado).
O que precisamos devolver para cada composição:
  • a expressão simplificada de (\,\text{comp}\,)(x);
  • o domínio dessa composição (conjunto dos x reais para os quais a composição está bem definida).

Passo 2

Regra geral sobre domínio de composição (explicação didática):
Se h=f\circ g, isto é h(x)=f(g(x)), então para que h(x) esteja bem definida é preciso:
  1. x estar no domínio de g;
  2. g(x) estar no domínio de f.
Em símbolos:
\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in\mathrm{Dom}(g)\mid g(x)\in\mathrm{Dom}(f)\}.
Vou aplicar essa regra em cada caso, resolvendo as desigualdades que surgirem de maneira clara e passo a passo.

Passo 3

Cálculo de f\circ g.
Primeiro escrevo a composição:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\sqrt{\big(g(x)\big)^{2}-1}.
Substituindo g(x)=\sqrt{1-x}:
(f\circ g)(x)=\sqrt{\big(\sqrt{1-x}\big)^{2}-1}=\sqrt{1-x-1}=\sqrt{-x}.
Agora o domínio: preciso que g(x) exista e que o argumento da raiz final seja não negativo.
  • Existência de g(x): 1-x\ge 0 isto é x\le 1.
  • Argumento da raiz (após simplificar): -x\ge 0 isto é x\le 0.
Interseção das condições: x\le 1 e x\le 0 x\le 0. Portanto
\mathrm{Dom}(f\circ g)=(-\infty,0].
Observação rápida (checagem): para x\le 0 temos 1-x\ge1 então \sqrt{1-x} é \ge1 e a fórmula inicial também resulta em \sqrt{(\ge1)^2-1}=\sqrt{\ge0}, consistente com a simplificação \sqrt{-x}.

Passo 4

Cálculo de g\circ f.
Escrevo a composição:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\sqrt{\,1-f(x)\,}.
Substituindo f(x)=\sqrt{x^{2}-1}:
(g\circ f)(x)=\sqrt{\,1-\sqrt{x^{2}-1}\,}.
Agora o domínio: duas condições
  1. f(x) existe: x^{2}-1\ge 0 isto é |x|\ge 1 (ou x\le -1 ou x\ge 1);
  2. argumento da raiz externa não negativo: 1-\sqrt{x^{2}-1}\ge 0, ou seja \sqrt{x^{2}-1}\le 1.
Para resolver \sqrt{x^{2}-1}\le 1: como modelo é uma raiz quadrada (sempre não negativa), posso elevar ao quadrado sem mudar desigualdade:
x^{2}-1\le 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 2 \quad\Longrightarrow\quad |x|\le \sqrt{2}.
Agora faço a interseção com |x|\ge 1: conjunto dos x tais que 1\le |x|\le \sqrt{2}. Em intervalos:
\mathrm{Dom}(g\circ f)=[-\,\sqrt{2},-1]\cup[1,\sqrt{2}].
Portanto a expressão é \sqrt{1-\sqrt{x^{2}-1}} com domínio acima.

Passo 5

Cálculo de f\circ f.
Escrevo a composição:
(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=\sqrt{\big(f(x)\big)^{2}-1}.
Substituindo f(x)=\sqrt{x^{2}-1}:
(f\circ f)(x)=\sqrt{\big(\sqrt{x^{2}-1}\big)^{2}-1}=\sqrt{x^{2}-1-1}=\sqrt{x^{2}-2}.
Agora o domínio:
  • Primeiro f(x) deve existir: x^{2}-1\ge 0 isto é |x|\ge 1.
  • Depois o argumento externo deve ser \ge0: x^{2}-2\ge 0 isto é |x|\ge \sqrt{2}.
A condição mais forte é |x|\ge \sqrt{2}, que implica |x|\ge 1. Assim
\mathrm{Dom}(f\circ f)=(-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},\infty).

Passo 6

Observação sobre a repetição de g\circ f no enunciado:
O enunciado pediu g\circ f duas vezes; a segunda ocorrência é igual à já calculada no Passo 4. Não há novo cálculo a fazer — a expressão e o domínio são os mesmos do Passo 4.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{-x},\qquad \mathrm{Dom}(f\circ g)=(-\infty,0].
(g\circ f)(x)=\sqrt{\,1-\sqrt{x^{2}-1}\,},\qquad \mathrm{Dom}(g\circ f)=[-\,\sqrt{2},-1]\cup[1,\sqrt{2}].
(f\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}-2},\qquad \mathrm{Dom}(f\circ f)=(-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},\infty).
(g\circ f)(x)=\sqrt{\,1-\sqrt{x^{2}-1}\,},\qquad \mathrm{Dom}(g\circ f)=[-\,\sqrt{2},-1]\cup[1,\sqrt{2}].

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