Determine os pontos de continuidade das funções abaixo. Justifique sua resposta.
f(x, y)=clx-3 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx-3yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0)
Queremos achar os pontos de continuidade de f. Vamos usar a definição de continuidade: f é contínua num ponto (a,b) se
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=f(a,b)
Para (x,y)neq(0,0), usaremos que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não se anula. Para (0,0), estudaremos limites por diferentes trajetórias.]

Passo 2

Seja (a,b) tal que (a,b)neq(0,0). Então x^2+y^2 não se anula em torno de (a,b), de modo que
f(x,y) = x-3yx^2+y^2
é quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não nulo. Logo
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=f(a,b),
e f é contínua em todo ponto (a,b)neq(0,0).

Passo 3

Para investigar (0,0), considere a trajetória y=0. Então, para xneq0,
f(x,0) = x-3cdot0x^2+0 = 1x
Como limxto01x não existe (vai para pminfty), o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe por essa trajetória.

Passo 4

Para reforçar, escolha a trajetória y=tfracx3. Então, para xneq0,
f!l(x,tfracx3r) = x-3cdotx3x^2+l(x3r)^2 = 0x^2+x^29 = 0,
de modo que
limxto0f!l(x,tfracx3r)=0

Passo 5

Vimos que por uma trajetória o valor de f diverge e por outra tende a 0. Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe, de modo que f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0) e é descontínua em (0,0).

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