Queremos achar os pontos de continuidade de f. Vamos usar a definição de continuidade: f é contínua num ponto (a,b) se
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=f(a,b)
Para (x,y)neq(0,0), usaremos que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não se anula. Para (0,0), estudaremos limites por diferentes trajetórias.]
Passo 2
Seja (a,b) tal que (a,b)neq(0,0). Então x^2+y^2 não se anula em torno de (a,b), de modo que
f(x,y) = x-3yx^2+y^2
é quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não nulo. Logo
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=f(a,b),
e f é contínua em todo ponto (a,b)neq(0,0).
Passo 3
Para investigar (0,0), considere a trajetória y=0. Então, para xneq0,
f(x,0) = x-3cdot0x^2+0 = 1x
Como limxto01x não existe (vai para pminfty), o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe por essa trajetória.
Passo 4
Para reforçar, escolha a trajetória y=tfracx3. Então, para xneq0,