(4,0 pontos) Questã 01 A resposta de um transdutor a uma onde de choque causada por uma explosão é dada pela função F(t)=8 e^-t I(a)pi, forall t >= a, em que
I(a)=integral1^12 f(x, a) d x, com f(x, a)=e^a xx
Apresente pelo menos 3 aproximações para I(2,0) usando os métodos vistos em aula, se necessário, combine-os e h=0,2. Trabalhe com 6 casas decimais e arredondamento. Obs.: TODOS os métodos (em alguma de suas versões) devem ser usados.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
I(2,0)=integral1^2e^2xx,dx
usando passo h=0,2 e TODOS os métodos vistas em aula: trapézio composto, regra de Simpson 1/3 composta e regra de Simpson 3/8 composta (em alguma versão ou combinadas). Vamos montar uma tabela de ,xi=1+0,2,i, i=0,1,dots,5, calcular
f(xi)=e^2xixi
e depois aplicar cada método.

Passo 2

Tabela de valores de f(x)=e^2x/x em xi com seis casas decimais:
c|c xi & f(xi)=dfrace^2xixihline 1,0 & 7,389056 1,2 & 9,185980 1,4 & 11,745412 1,6 & 15,332831 1,8 & 20,332348 2,0 & 27,299075
Agora o trapézio composto com n=5 subintervalos e h=0,2:
T= hgl[f0+f52+sumi=1^4figr] =0,2l[tfrac7,389056+27,2990752+(9,185980+11,745412+15,332831+20,332348)r]
Calculando,
T=0,2l[17,344066+56,596571r] =0,2cdot73,940637 =14,788127

Passo 3

Agora uma combinação de Simpson 1/3 composta em quatro subintervalos [1,1,8] e trapézio no último [1,8,2].
  1. Simpson 1/3 composta em [1,1,8], n1=4, h=0,2:
S1/3=h3l[f0+f4+4(f1+f3)+2f2r] =0,0666667l[7,389056+20,332348+4(9,185980+15,332831)+2cdot11,745412r] approx9,952498
  1. Trapézio em [1,8,2]:
Tú<=0,2cdotf4+f52 =0,2cdot20,332348+27,2990752 approx4,763142 ú
Somando,
Iapprox9,952498+4,763142 =14,715640

Passo 4

Por fim, combinamos Simpson 3/8 composta em três subintervalos [1,1,6] e Simpson 1/3 composta em dois subintervalos [1,6,2].
  1. Simpson 3/8 em [1,1,6], n1=3, h=0,2:
S3/8=3h8l[f0+f3+3(f1+f2)r] =0,075l[7,389056+15,332831+3(9,185980+11,745412)r] approx6,413705
  1. Simpson 1/3 em [1,6,2], n2=2, h=0,2:
S1/3'=h3l[f3+f5+4f4r] =0,0666667l[15,332831+27,299075+4cdot20,332348r] approx8,264086
Somando,
Iapprox6,413705+8,264086 =14,677791

Resposta

As três aproximações com seis casas decimais são:
14,788127 (trapézio composto)
14,715640 (Simpson 1/3 + trapézio)
14,677791 (Simpson 3/8 + Simpson 1/3)

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